Exponentielle et inversibles, Banach unifère.

par **Nightmare** » 11 Jan 2009, 21:01

Bonsoir,

je vous soumets une question intéressante selon moi, le résultat est joli.

On se donne une algèbre de Banach unifère A.
Sous quelle condition nécessaire et suffisante sur les sous-groupes de un élément inversible de A a-t-il un antécédent par l'exponentielle (définie sous forme de série).

Bonne réflexion.

:happy3:

par **Nightmare** » 11 Jan 2009, 22:36

Une petite piste de réflexion quand même car brut ce n'est pas simple :

Montrer que exp restreinte au départ à un certain voisinage de 0 et à l'arrivée à un certain voisinage de 1 est un difféomorphisme.

par **Nightmare** » 12 Jan 2009, 19:15

Décidément, pas beaucoup d'amateurs de théorie spectrale sur le forum. Dommage, l'exercice est vraiment intéressant.

par **ThSQ** » 12 Jan 2009, 19:16

Très beau sujet.

On peut définir le log sur ||e-x|| < 1 et ça permet d'inverser en douceur et de manière aussi lisse que l'on veut exp près de 0 grâce aux théorèmes sur les séries entières, valables aussi dans les Banach.

Il y a des conditions suffisantes algébriques (style l'algèbre est commutative) et des conditions nécessaires topologiques (style tous les sous-groupes de A^x sont dans la composante connexe de l'unité).

Faut plutôt chercher du côté algébrique (groupes distingués ?) ou topologique (connexité ...) ?

Réponds en blanké (ou MP) si tu ne veux pas trop en dévoiler à ceux qui cherchent.

par **ThSQ** » 12 Jan 2009, 19:16

Nightmare a écrit:Décidément, pas beaucoup d'amateurs

Mais si mais si :lol5:

par **Nightmare** » 12 Jan 2009, 19:18

On a ressorti le topic en même temps, belle coincidence !

Pour te répondre :
J'ai personnelement trouvé du point de vu topologique, maintenant il y a peut être une CNS algébrique.

par **Nightmare** » 12 Jan 2009, 19:22

En fait la CNS que j'ai trouvé est en même temps algébrique et topologique. Je sais, ça ne t'aide pas

par **ThSQ** » 12 Jan 2009, 19:23

Les grands esprits .... :dingue2:

Merci pour les réponses ( la connexité est-elle une bonne piste ?)

par **Nightmare** » 12 Jan 2009, 19:24

Ouaip, elle l'est

par **ThSQ** » 12 Jan 2009, 19:27

Ok !

par **Nightmare** » 13 Jan 2009, 16:35

Personne ne trouve? :happy3:

par **xyz1975** » 13 Jan 2009, 18:59

Bonjour Nightmare
J'ai beau réfléchis mais je trouve pas de piste.

par **Nightmare** » 13 Jan 2009, 19:04

Salut :happy3:

Un indice supplémentaire :

Soit V un voisinage de 1, considérer

et utiliser l'indice que j'ai donné dans mon deuxième post.

:happy3:

par **ThSQ** » 13 Jan 2009, 20:45

La caractérisation que tu demandes porte sur tous les sous-groupes ou juste sur certains (style pour tout x inversible il existe un sous-groupe connexe et commutatif contenant x) ?

par **Nightmare** » 14 Jan 2009, 00:28

La deuxième :happy3:

par **ThSQ** » 14 Jan 2009, 18:04

J'aime les exos sous forme de jeu de piste !
Je tente donc la caractérisation :

pour tout x inversible il existe un sous-groupe connexe et commutatif contenant x

Déjà { exp(t*u), t R } avec exp(u)=x est bien connexe et commutatif donc convient et on a un sens.

Réciproquement, on prend V assez petit pour qu'on puisse inverse exp avec le log sous forme de série.
- Alors

et H = G, pour des raisons de connexité (H est ouvert (dans G) comme réunion d'ouvert et fermé car le complémentaire aussi)
- tout élément x de G s'écrit donc

(G est commutatif) avec

ou

par **Nightmare** » 14 Jan 2009, 18:29

C'est exactement, bravo :happy3: Maintenant tu as gagné le droit de manger un hypersandwich :lol3:

par **ThSQ** » 14 Jan 2009, 18:55

Nightmare a écrit:le droit de manger un hypersandwich :lol3:

Miam !

Exponentielle et inversibles, Banach unifère.

Exponentielle et inversibles, Banach unifère.

Qui est en ligne