Exponentielle + continuité

[startout]

Bonjour à tous,


Je viens de me remettre au math et c'est pas gagné :id:
Je ne souhaite pas que l'on me donne les résultat mais juste que l'on me dise si je fais fausse route ou pas (et que l'on me mette sur la bonne voie dans le cas où je me plante).
Je vous expose mon souci.

j'ai f(x)= x.e^(1/(1-x²)


1°) On me demande de déterminer Df de f
J'ai noté Df= R car e^0=1

2°) La fonction est-elle pair ou impaire ?
J'ai noté pour tout x appartient à R f(-x)=-f(x)
exemple pour x=1
f(-1)=1*e^0=-1 et
-f(1)=-1*e^0=-1
Donc f(x) est impair. Ce qui implique que f(x) est symétrique par rapport à l'origine.
On peut donc réduire notre étude sur l'intervalle D=[0,+infini[

3°) La fonction est-elle continue sur Df ?
Oui car toute fonction dérivable sur un intervalle est également continu sur cette intervalle et f(x) est dérivable sur Df. Cette phrase suffit-elle pour répondre à la question ?

4°) Calculer les limites de f aux bornes de D (pour rappelle j'ai trouvé D=[0, +infini[

lim x->0 de f(x)=e
lim x->+infini f(x)=+ infini

Pouvez-vous me dire si mon raisonnement est correct ?
Merci.

Air startout.

[yos]

Bonjour à tous,


j'ai f(x)= x.e^(1/(1-x²)


1°) On me demande de déterminer Df de f
J'ai noté Df= R car e^0=1

Non car 1 et -1 sont des valeurs interdites.

2°) La fonction est-elle pair ou impaire ?
J'ai noté pour tout x appartient à R f(-x)=-f(x)
exemple pour x=1
f(-1)=1*e^0=-1 et
-f(1)=-1*e^0=-1

L'exemple ne prouve rien.

On peut donc réduire notre étude sur l'intervalle
D=[0,+infini[

...privé de 1.

3°) La fonction est-elle continue sur Df ?
Oui car toute fonction dérivable sur un intervalle est également continu sur cette intervalle et f(x) est dérivable sur Df. Cette phrase suffit-elle pour répondre à la question ?

Ben ça déplace le problème : pourquoi est-elle dérivable? On peut dire qu'elle est continue car construite avec des fonctions continues.

4°) Calculer les limites de f aux bornes de D (pour rappelle j'ai trouvé D=[0, +infini[

lim x->0 de f(x)=e
lim x->+infini f(x)=+ infini

En 0 c'est plutôt 0 tu ne crois pas? En +infini c'est ça.
Il faut encore regarder en 1 à gauche et à droite.

[startout]

Merci pour ta réponse. Je comprends mieux mes erreurs.
privé de -1 et 1 car il y a la rationalité 1/(1-x²).

Pour la continuité, j'éprouve de la difficulté.
Le fait que le domaine de Df= R / {-1; 1}, ceci ne prouve t-il pas que la fonction est discontinue à l'approche de -1 et 1 ?

Pour les limites oui tu as raison bien sûr f(x)=0 quand x tend vers 0. :zen:

[Zebulon]

Le fait que le domaine de Df= R / {-1; 1}, ceci ne prouve t-il pas que la fonction est discontinue à l'approche de -1 et 1 ?

Bonjour,
non, le domaine de définition ne dit rien sur la continuité de la fonction!

[startout]

Ok mais comment montrer qu'une fonction est continue ?

[Zebulon]

Ok mais comment montrer qu'une fonction est continue ?

On étudie les limites à gauche et à droite.

[yos]

Je ne sais pas si zeb et moi on parle de la même chose.
Pour la continuité sur D=R-{-1,1}, c'est ce que j'ai dit : fonction fabriquée avec des fonctions continues (composée d'une fonction rationnelle et de la fonction exponentielle toutes deux continues).
D'autre part la limite en 1 à droite est 0. On a donc envie de prolonger la fonction en 1 en posant f(1)=0. Ce prolongement n'est pas continu car la limite en 1 à droite est +infini. Situation analogue en -1.

[startout]

Vous m'avez déjà bien aidé puisque je partais trés mal...
J'ai encore besoin de votre aide.

pour ma fonction f(x)= x.e^(1/(1-x²)

Je trouve la dérivée suivante :
f ' (x)= (-2x/(1-x²)²).e^(1/(1-x²)

Ai-je bon ?
Le résultat me parait bien compliqué. Il doit bien y avoir un moyen de la simplifiée. Pouvez-vous me mettre sur la voie ?

Merci encore.

[yos]

Pas bon : (uv)'=u'v+uv'

[startout]

Merci beaucoup. Je vais me débrouiller un peu seul maintenant :we: