Exo sur espace vectoriel

[Anonyme]

salut a tous j'ai quelques exo a faire sur les espace vectoriel mais les reponse me paraissent evidente donc je n'arrive pas a formuler de reponses claires:

soit E un K-espace vectoriel de dimention n appartenant a n*
on se donne A et B deux sous EV de E et on pose le probleme suivant:
a quelle(s) condition(s) existe t il un sous EV C tel que A+B=A++C=B++C (++ pour supplementaire)


1)...
2)
on suppose dimA=dimB et A et B deux hyperplans distincts
a)justifier l'existence de vecteurs u app à A et v app à B tels que u n'app pas à B et v n'app pas à A
b)etablir que w=u+v n'app pas à AUB (A union B)
c) observer que C=vect(w) est solution du probleme posé

[nuage]

Salut,
Comme dim(A) = dim(B) si A est inclus dans B alors A=B.
Or A est différent de B donc A n'est pas inclus dans B et il existe u dans A tel que u n'est pas dans B.
De même il existe v dans B qui n'est pas dans A.

Si w=u+v est dans A alors v=w-u est aussi dans A, ce qui est contradictoire. Donc w n'est pas dans A.
De la même façon w n'est pas dans B.

Pour le 2)c) il suffit de voir que A+vect(w)=E.

A+

[Anonyme]

merci de ton aide ca m'a bien aider a comprendre "l'esprit" des reponses a donner

[Anonyme]

j'ai encore un probleme:
on supose A n'egale pas B et dans la partie 3 on a demontré que:
-il existe A' tel que (A inter B)++A'=A (++=suplementaire)
" B' " " (A inter B)++B'=B
-A' inter B' = o
-dimA'=dimB'=p
-il existe une base Beta=(e1,...,ep) et Gama=(f1,...,fp) au SEV A' et B'

4)a)
on forme D=(g1,...,gp) en posant gi=ei+fi

-montrer que D est libre
je pense qu'il faut d'abbord montrer que A' et B' sont supplementaire mais je n'y arrive pas

-on pose C=vect(g1,...,gp) determiner dim C
donc si je dit pas de betise dim C=p car D est libre

-montrer que A inter C = o
la aussi je voit pas comment faire

[nuage]

Salut,
D est libre car l'intersection de A' et B' est {0} et non parce qu'ils sont suplémentaires (ce qui n'est pas évident compte tenu de ce que tu dis).
Sauf erreur de ma part (il est tard).

A demain.