Exo fonction

[kmikazi]

On définit les deux fonctions c et s suivantes sur R par :
c(x) =(ex + e-x)/2 s(x) = (ex - e-x)/2
:
1. Montrer que la fonction c est paire.
2. Que peut-on déduire sur sa courbe représentative Cc.
3. Calculer la dérivée de la fonction c.
4. Calculer c(0), lim
x!+1
c(x), lim
x!;)1
c(x).
5. Dresser le tableau de variation de la fonction c sur R
6. Tracer l’allure de la courbe représentative Cc de c.
7. Montrer que la restriction de la fonction c à R+ réalise une bijection de R+ sur un
intervalle I à déterminer. On notera b cette bijection et b^-1 sa bijection réciproque.
8. Tracer l’allure du graphe de la bijection b^-1 sur la même figure que celui de c.
9. Montrer que , (c(x))2 - (s(x))2 = 1.
10. En déduire que pour tout x de I on a (b^-1)'(x) =1/racine(x²-1)
.
11. Calculer la dérivée de la fonction f : x ! ln(x +
p
x2 ;) 1) sur ]1;+1[.
12. En déduire que
8x 2 I; b;)1(x) = ln(x +
p
x2 ;) 1):


j'ai besoin d'aide pour la question 10 seulement et j'aimerais aussi savoir si I a ces intervalles ouverts ou fermés
merci

[kmikazi]

personne? c'est juste pour une question

[kmikazi]

les chaud en maths? :zen:

[Robic]

Ils dorment peut-être ?... :dodo:

Pour la question 10, je suppose qu'il faut utiliser la formule générale de la dérivée d'une fonction réciproque. (f^-1)' = une certaine fraction... et l'appliquer à la fonction b. Si tu as déjà commencé ce calcul, peux-tu indiquer où tu en es ? Normalement il faut, à un moment donné, utiliser l'égalité du 9) pour terminer le calcul.

Concernant l'intervalle I, s'il est juste défini comme étant l'intervalle d'existence de la bijection, il est fermé en 1 (d'ailleurs R+ est fermé en 0). Par contre la réciproque n'est pas dérivable en 1 (puisque b' est nulle en 0) donc l'intervalle où la réciproque admet une dérivée est ouvert. (Si je ne confonds pas - tout ça est à vérifier).

[kmikazi]

Ils dorment peut-être ?... :dodo:

Pour la question 10, je suppose qu'il faut utiliser la formule générale de la dérivée d'une fonction réciproque. (f^-1)' = une certaine fraction... et l'appliquer à la fonction b. Si tu as déjà commencé ce calcul, peux-tu indiquer où tu en es ? Normalement il faut, à un moment donné, utiliser l'égalité du 9) pour terminer le calcul.

Concernant l'intervalle I, s'il est juste défini comme étant l'intervalle d'existence de la bijection, il est fermé en 1 (d'ailleurs R+ est fermé en 0). Par contre la réciproque n'est pas dérivable en 1 (puisque b' est nulle en 0) donc l'intervalle où la réciproque admet une dérivée est ouvert. (Si je ne confonds pas - tout ça est à vérifier).

je trouve que (b^-1)'(x)=1/b'(x) = 1/s(x) donc apres je vois pas comment faire le lien avec la 9)

[Robic]

La question 9) sert à écrire que s(x)=racine carrée (c(x)²-1) (ou quelque chose comme ça). On peut donc tout calculer en fonction de c(x) seulement.