Exo d'oral équivalent de série de fonction

[duchere]

Salut,

un exo d'oral que je ne trouve pas :

trouver un équivalent en 1- de

Quelqu'un a une idée ?

Bonne soirée

[ThSQ]

A la hussarde (ou là la physicienne) :



Avec f(n) = somme des diviseurs de n

[duchere]

j'avais pensé à quelque chose comme ça, mais on aboutit pas à un équivalent.

Maintenant, j'ai trouvé l'équivalent : c'est 1/(1-t)^2

Pour le voir, il suffit de voir que (1-t^n)=(1-t)(1+...+t^(n-1))
qui est équivalent à n*(1-t) quand t tend vers 1.

En remplaçant dans la série, on intuite que l'équivalent est 1/(1-t)^2

Cependant, je ne suis pas encore arrivé à le montrer.

Il suffit de montrer que (1-t)^2*S(t) tend vers 1.

Or, je suis simplement arrivé à montrer que (1-t^2)*S(t) admet une limite en 1- par majoration.

Reste à montrer que cela tend vers 1, et là je n'y arrive pas...

Bonne soirée.

[ThSQ]

j'avais pensé à quelque chose comme ça, mais on aboutit pas à un équivalent.

Je sais pas j'avais pensé à f(n) >= n+1 ce qui donne déjà que S(t) >= 1/(1-t)²
Après on peut peut-être majorer f(n) pour obtenir un majorant de S(t) (on a f(n) <= n*ln(n) pour n assez grand, ça marche peut-être, pas le temps)

[duchere]

Je suis arrivé à montrer que l'équivalent de la somme était compris entre 1/(1-t)^2 et 2/(1-t)^2

Qui dit mieux....? :id:

[ThSQ]

Je pense que c'est

[duchere]

C'est en effet la réponse exacte.

je viens d'arriver à le montrer.

Il "suffisait" de comparer avec une intégrale : on obtenait :

équivalent quand t tend vers 1 à ;
le changement de variable donne :



Il suffit alors de montrer que admet une limite en 1

Pour cela, une ipp montre que

Alors, en utilisant la décomposition en série entière, on montre que J(t) tend vers la somme des 1/n^2 c'està-dire Pi^2/6

On en conclut, après bien des efforts que équivalent à

[duchere]

C'était donc un vrai exo d'ens ça !!!

Bien dur, mais joli !

[ThSQ]

Intéressante solution Duchere. Je suis arrivé à la même conclusion par une voie totalement différente !!!

J'ai poursuivi mon idée et utilisé (f(n) = somme des diviseurs de n).

Il ne fait pas de doute que c'est ta solution qui était attendue !

[duchere]

En fait, je suis en PC, et donc je n'aurais jamais pensé à ta solution car on ne manie pas trop ça nous....
Ce qui est bien, c'est que nous arrivions au même résultat....

Sinon, aurais-tu une idée pour l'autre série que j'ai posté sur ce forum ?

Bonne soirée.