Exo Fonction paramétrique - Math Sup PCSI

[psychopathe_man]

:help: Bonjours ! :help:
J'ai un petit problème a un exercice :we:
Je vous donne l'énoncé :

P est un plan rapporté au repère orthonormé direct (O,u,v) ; A est un point de coord ( 1,0 ).

C est le cercle de centre O et de rayon 1.

f et l'application de C ( ensemble des complexes ) dans C définie par :
f (z) = 2z - z²

F est l'application de P dans P qui à tout point m d'affixe z associe le point M d'affixe Z égale à f (z).

Le but de l'exercice est d'étudier l'image K du cercle C par F .
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Je vous note aussi les questions précédentes que j'ai traité en parti, mais celles ci peuvent être utiles :

Soit m un point de C ( cercle ) d'affixe z et M son image par F.
1/ m1 et m2 sont les points d'affixe respectives z² et 2z
Donner les modules de z, z² et 2z. et les arguments de 2z et z² en fonction de celui de z.
2/ Montrer que le quadrilataire O m1 m2 M est un parallélogramme.
3/ En déduire une construction géométrique simple de M à partir de m.


Soit exponentiel (it) "exp(it)", t € [-Pi , Pi ] l'affixe d'un point m de C.

4/ Calculer f (exp (it)) et en déduire que l'image K de C par F est la courbe paramétrée :
X(t)= 2cos(t) - cos(2t)
Y(t)= 2sin(t) - sin(2t) t € [-Pi, Pi ]

5/ a/ Montrer que les points d'affixes f(exp (it)) et f (exp(-it)) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Qu'en déduire pour K?
b/ Etudier sur l'intervalle [0 , Pi] les variations des fonctions X et Y de la variable t.

6/ Montrer que le vecteur "mM" est orthogonal à la tangente à K en M.

7/ Construire les points de K où la tangente est parallèle aux axes de coordonnées.

8/Tracer K.
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Voila l'énoncé. Je sais qu'il y a beaucoup de surplux, mais j'ai pensé que l'énoncé pouvait vous être util.
J'ai traité les questions 1/ , 4/ et 5/.
Il y aurait-il moyen que quelqu'un m'explique comment je pourrais procéder pour répondre aux questions ?

Je vous remercie d'avance! :++:

[Chimerade]

Bonjours !

Un seul "Bonjour" suffira, merci !

2/ Montrer que le quadrilataire O m1 m2 M est un parallélogramme.

Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, il suffit de montrer que les vecteurs et sont égaux, donc que les affixes de ces deux vecteurs sont égaux.

3/ En déduire une construction géométrique simple de M à partir de m.

Ben, tu traces et en fonction de m, puis M comme le quatrième point du parallélogramme dont tu viens de montrer l'existence !

6/ Montrer que le vecteur "mM" est orthogonal à la tangente à K en M.

La tangente à K en M. est parallèle au vecteur [X'(t),Y'(t)]. Il faut calculer ces deux dérivées. Ensuite il suffira de faire un produit scalaire.

7/ Construire les points de K où la tangente est parallèle aux axes de coordonnées.

Même chose : utiliser les dérivées de X(t) et Y(t)

[psychopathe_man]

Merci bien pour ton aide!
Aurevoir ! :D :D

Si quelqu'un veut étoffer la réponse précédente, qu'il ne s'en gêne pas !
Sur ce, merci bien.