Exo point fixe fonction continue

par **ffpower** » 01 Déc 2009, 23:24

Salut!
Soit

une fonction continue. On définit une suite (

par reccurence:
-

-Pour tout

,

Montrer que

converge vers un point fixe de f. :we:

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 23:36

Moyennes de césaro : si ca converge, c'est vers un point fixe.
Pour la c.v. ??? j'essaye avec les valeurs d'adhérence....

par **Nightmare** » 02 Déc 2009, 00:03

On sait déjà que l'ensemble des valeurs d'adhérence est un intervalle !

par **Ben314** » 02 Déc 2009, 00:07

Oui, et je pense que, si l'intervalle n'était pas réduit à un point, cela signifierait que l'on passe "régulièrement" au millieu en "montant" ET aussi en "descendant" or u_{n+1} ne dépend que de u_n .... contradiction...

bon, c'est pas encore fameux fameux....

P.S. il faut évidement lire "le signe de u_{n+1}-u_n ne dépend que de u_n".

par **ffpower** » 02 Déc 2009, 00:09

Bonnes idées tout ça :++:

par **Ben314** » 02 Déc 2009, 00:11

Je pense que la "preuve propre" consiste à considérer un petit intervalle ouvert contenu dans l'intervalle des valeurs d'adhérence et sur lequel f(x)-x reste de signe constant....
J'ai la flemme de finir au propre...

A la limite, je rajouterais que, comme u_{n+1}-u_n tend vers 0, à partir d'un certain rang on ne peut plus traverser l'intervalle sans tomber dedans et une fois dans l'intervalle on est toujours "ejecté" du même coté

par **ffpower** » 02 Déc 2009, 00:13

Et re :++: pour Ben^^

par **Nightmare** » 02 Déc 2009, 00:14

Ben314 a écrit:Je pense que la "preuve propre" consiste à considérer un petit intervalle ouvert contenu dans l'intervalle des valeurs d'adhérence et sur lequel f(x)-x reste de signe constant....
J'ai la flemme de finir au propre...

Ca marche, joli :happy3:

par **ffpower** » 02 Déc 2009, 00:22

Oui:

va toujours vers

,donc toujours dans le même sens sur les intervalles en question. D ailleurs l exo peut se généraliser ( avec exactement la même preuve ) aux suites de la forme

avec

,

.(Ici,

)
Bravo Ben en tout cas :king2:

par **ffpower** » 02 Déc 2009, 00:58

Sinon,à votre avis, l exo initial est-il encore vrai si f va de la boule unité fermée de R² dans elle même :euh:

par **Ben314** » 02 Déc 2009, 01:08

Bon je vais me coucher, MAIS, sans aucun calculs,
ca me parraitrait tout de même un peu facile comme preuve du th. de brower....

par **ffpower** » 02 Déc 2009, 01:12

Ouai lol, c est ce que je me dis aussi, mais bon on peut réver^^
Bonne nuit :we:

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