Exo espace vectoriel

[kmikazi]

Exercice 3. On se place dans l’espace vectoriel IR4 muni des opérations usuelles(les
vecteurs se notent indi;)éremment en colonne ou en ligne). On considère le système
(S) d’inconnues réelles x, y, z, t :
(S)

2x ;)3y ;)z +2t = 0
4x ;)4y ;)z +3t = 0
;)2x +5y +2z ;)3t = 0
6x ;)5y ;)z +4t = 0
,
et le sous-espace vectoriel E de IR4 dé;)ni par :
E =(x, y, z, t) ;) IR4 tq. (x, y, z, t) est solution de (S)

.
1. Résoudre le système (S).
2. En déduire une base de E ainsi que sa dimension.

je comprends pas on nous dit que le sev est solution de S, j'ai essayé de reduire les equation au max et je trouve que 2y + z - t = 0 donc cette equation est l'equation du sev et j'ai essayé de trouver une famille generatrice avec cette equation mais ou va le x?

[Archibald]

Euh, si tu résous ton système avec la méthode de Gauss-Jordan, il m'étonnerait qu'on arrive à ton résultat (2y+z-t=0).

Le sev E est justement défini par le quadruplet solution de ton système.

[kmikazi]

Euh, si tu résous ton système avec la méthode de Gauss-Jordan, il m'étonnerait qu'on arrive à ton résultat (2y+z-t=0).

Le sev E est justement défini par le quadruplet solution de ton système.

en utilisant gauss-jordan et en supprimant x on arrive tjrs a une equation du type 2y+z-t=0 j'en suis sur apres je sais pas comment rpondre a la question

[chan79]

en utilisant gauss-jordan et en supprimant x on arrive tjrs a une equation du type 2y+z-t=0 j'en suis sur apres je sais pas comment rpondre a la question

Salut
A l'aide des 2 premières égalités:
x=(-z-t)/4
y=(-z+t)/2
les deux autres égalités sont vérifiées
tu peux en déduire deux vecteurs

[Archibald]

Hum, Excel me dit que ta matrice n'est pas inversible. Tu es bien sûr d'avoir correctement réécrit les coefficients ?

[chan79]

Hum, Excel me dit que ta matrice n'est pas inversible. Tu es bien sûr d'avoir correctement réécrit les coefficients ?

C'est bien ça
Les éléments de E sont k(-1/4;1/2;0;1)+k'(-1/4;-1/2,1;0) k et k' variant dans

[Archibald]

C'était à propos du système initial de kmikazi, en fait ^^

[Robic]

Archibald : tes réponses m'étonnent un peu... Je n'ai pas fait les calculs, mais si Kmikazi a raison, effectivement la matrice n'était pas inversible, il n'y a donc pas de problème et tu vas juste l'embrouiller... (Et pourquoi parles-tu de quadruplet solution ? Si la matrice est inversible la solution est (0,0,0,0) et on n'aura aucun mal à trouver la base du sous-espace... :lol3: )

Kmikazi : 2y + z - t = 0 est l'équation de E (sous réserve que ça donne bien cette équation, je n'ai pas vérifié mais apparemment tu l'as fait). 1 équation en dimension 4, ça veut dire que c'est un sous-espace de dimension 3 (un hyperplan) donc il faut trouver 3 vecteurs linéairement indépendants.

(Finalement je viens de faire les calculs, je ne trouve pas la même chose - il me reste deux équations, donc c'est un sous-espace de dimension 2. En fait je trouve la même chose que Chan79. Donc tout ce qui suit n'a d'intérêt que pour la "culture générale", au cas où un jour tu tomberais sur un sous-espace défini par l'équation 2y +z -t = 0)

La méthode que j'aime bien, c'est choisir ainsi les coordonnées (si c'est possible) :
e1 = (X ; 1 ; 0 ; 0)
e2 = (X' ; 0 ; 1 ; 0)
e3 = (X" ; 0 ; 0 ; 1)
où X, X' et X" se déterminent avec l'équation 2y + z - t = 0. Ça donne des coordonnées simples (utile si on en a besoin dans la suite) et les trois vecteurs sont indépendants par construction (si on a vu les déterminants, c'est évident).

Mais là ça ne marche pas à cause du x qui manque dans l'équation 2y + z - t = 0, et qui signifie que x est quelconque. Ce qu'il faut faire, c'est choisir e1 = (1 ; 0 ; 0 ; 0) (puisqu'il n'y a pas de x dans l'équation c'est que x est quelconque, donc forcément ce vecteur est dans le sous-espace - il faut visualiser le truc en procédant par analogie avec la 3D (*)) puis on applique la méthode précédente pour les deux vecteurs restants en mettant 0 comme première coordonnée :
e2 = (0 ; X ; 1 ; 0)
e3 = (0 ; X' ; 0 ; 1)
où X et X' se déterminent avec l'équation 2y + z - t = 0. Cette fois ça marche (je viens d'essayer).

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(*) En 3D, on aurait eu par exemple une équation de plan 2y + z = 0 : un tel plan se dessine facilement : on trace les trois axes de façon habituelle, puis on trace sur Oyz la droite z = -2y, et on sait que cette droite doit se translater parallèlement à x (puisque x n'apparaît pas dans l'équation, donc x est quelconque) pour générer le plan. Ah, pas facile d'expliquer ça avec des mots alors que je viens de faire le dessin qui explique tout... Bref, là c'est pareil avec une dimension de plus : x n'est pas présent dans l'équation, donc forcément (1,0,0,0) est un vecteur de base du sous-espace.