Exo de dénombrement

[Mohamed]

bonsoir

voici un bon exo qui va donner un résultat très important

soit f une fonction de E vers E tel que fof= Id et card(E)=2n+1
Montrer que f admet un point fixe(cad il existe x tel que f(x)=x)

Bonne chance

[yos]

Bonsoir.
f est un élément de Décompose-là en cycles disjoints et tu vois tout de suite ce qui se passe.

[jose_latino]

bonsoir

voici un bon exo qui va donner un résultat très important

soit f une fonction de E vers E tel que fof= Id et card(E)=2n+1
Montrer que f admet un point fixe(cad il existe x tel que f(x)=x)

Bonne chance

Bonjour Mohamed:
C'est possible par induction. On va supposer que . Il faut remarquer que si pour tout , alors s'on choisit , la fonction définie par , est encore une bijection, mais sans points fixés. Bonne chance.

[Zavonen]

Une telle application s'appelle une involution. Elle est sa propre réciproque.
Toute revient à prouver que le graphe (qui est donc symétrique par rapport à la diagonale) contient un point de la diagonale (pt fixe). Or ce graphe contient un nombre impair de points.
Tout sous ensemble symétrique de ExE ne coupant pas la diagonale doit forcément avoir un nombre pair d'éléments.
En résumé: Faire un dessin, ça peut aider
PS: On peut même compléter le résultat sur les points fixes. Il y en a au moins un et leur nombre est impair.

[Mohamed]

Bonsoir.
f est un élément de Décompose-là en cycles disjoints et tu vois tout de suite ce qui se passe.

c'est quoi la décomposition en cycles?

[aviateurpilot]

c'est quoi la décomposition en cycles?

tu va voir ça, dans les permutation de
il rend ton probleme bcp plus facile :lol4:
tu peux meme montrer que le nombre de ces points fixe est impair.

[aviateurpilot]

puisque tu n'a pas encore vu les cycles
je vais tu donner une solution que tu peux comprendre

=> bijectif
si n'ai pas un point fixe de , alors il existe telque et (car )
dans ce cas et ne sont pas des point fixe.
on plus
donc si est l'ensemble des points qui ne sont pas fixe. sera pair car il E sera de cette forme ()
si E' est l'ensemble des point fixe
donc est impair =>

[yos]

c'est quoi la décomposition en cycles?

f est une bijection d'un ensemble fini dans lui-même : on appelle ça une permutation. Elle se décompose en cycles (qui sont des permutations particulières). Cette décomposition est celle donnée par aviateurpilote juste au dessus. Il s'agit de cycles d'ordre 2, donc du type (a,f(a)) et d'au moins un cycle d'ordre 1 (élément b tel que f(b)=b).