Exo sur dénombrement

[kimiferrari]

bonjour, on traite ici de cas de combinaisons avec répétitions et je ne sais pas trop comment m'en sortir.

soit E un ensemble de cardinal n. ON appelle combinaison avec répétition de p éléments de E toute "collection" notée [x1, x2 ... xp] de p éléments xi de E, les xi n'étant pas nécessairement distincts et n'étant pas ordonnés. On note gamma(n,p) le nombre de ces combinaisons

1) Calculer gamma(n,1), gamma (n,2), gamma (n,3), gamma (2,3) [attention à ce cas

2) Soit x un élément donné de E. Combien de fois x figure-t-il dans l'ensemble des combinaisons avec répétitions de p éléments de E ?

3) Montrer que : p/n gamma(n,p) = gamma (n, p-1) + (p-1)/n gamma (n, p-1) et en déduire gamma (n,p)

4) Combien y'a-t-il de suites de n entiers naturels dont la somme est égale à p ?

Merci par avance pour les 1eres questions

[kimiferrari]

pour gamma n,1 je propose n et gamma n,2 je propose n-1 ?

[yos]

(= nombre de combinaisons sans répétitions + nombre de combinaisons avec au moins une répétition).

[kimiferrari]

j'avoue que je ne comprends pas...

[yos]

Prends n=4, p=2 et E={1,2,3,4}
Les CAR (Combinaisons Avec Répétitions) d'éléments de E sont
[1,2], [1,3], [1,4], [2,3], [2,4], [3,4] (les six combinaisons classiques (sans répétition)
[1,1], [2,2], [3,3], [4,4] (les autres CAR).

[kimiferrari]

on peut donc tout à fait dire "nombre de combinaisons sans répétitions + nombre de combinaisons avec au moins une répétition" dans une copie ?
sinon donc gamma n,3 c'est 3 parmi n + n
pourgamma 3,2 comment procéder ?

[yos]

on peut donc tout à fait dire "nombre de combinaisons sans répétitions + nombre de combinaisons avec au moins une répétition" dans une copie ?

Oui mais ce n'est pas la méthode générale pour les dénombrer (voir les questions qui suivent). Bien que cela fonctionne pour p=2 ou p=3.

sinon donc gamma n,3 c'est 3 parmi n + n

Non, il y a bien les n cas avec trois éléments identiques, mais il y a aussi tous les cas avec seulement deux éléments identiques et un troisième élément.

pourgamma 3,2 comment procéder ?

A la main!! Ecris la liste.

[kimiferrari]

E = (1,2) , n=2 et p =3
on a donc les CAR : 1,2,1 1,2,2 et 1,1,1 et 2,2,2 ?

[kimiferrari]

une idée pour la 4e question (2et 3 j'ai finalement fait)

[yos]

(2et 3 j'ai finalement fait)

Sans blague?

Pour le 4, mets en correspondance une liste de somme p avec la CAR qui contient fois l'élément 1, fois l'élément 2, ..., etc.