Exo dénombrement

[Lyam]

Bonjour,

Voilà un petit exercice que j'ai du mal à résoudre.

Une urne contient 8 boules rouges, 3 blanches et 9 noires.
On tire 3 boules successivement et sans remise. On numérotera les boules rouges (resp. blanches, noires) de 1 à 8 (resp. de 1 à 3 et 1 à 9).

1) Combien de tirages possibles ?

2) Combien de tirages contenant 3 boules rouges ?

3) combien de tirages contenant 3 boules blanches ?

4) Combien de tirages contenant dans l'ordre une rouge, une blanche et une noire ?

5) Même question dans le désordre.

6) Combien de tirages contenant 2 boules rouges, et une blanche dans le désordre ?



Pour la question 1, j'ai trouvé 1140 en utilisant la formule avec les factorielles.

Pour la question 2, 56 de la même façon.

Pour la question 3, 1 (là je ne suis pas sur....J'arrive à 3!/(3!(3-3)!), ce qui donne 1....Maisen même temps ça parait logique vu qu'il n'y a que 3 boules blanches....

Pour la 5, je pense y arriver en utilisant la même méthode (c'est à dire juste multiplier les 3 combinaisons).

Par contre, pour la 4, je ne vois pas du tout comment faire.... On a bien (8) mais comment faire pour
.................................................................................................(3)

bien ne prendre en compte que les tirages qui ont en 2ème choix une boule blanche ??


J'aimerais un peu d'aide pour cette question.
Je pense que si je la comprend, je n'aurais pas trop de problème pour les 2 dernières.

Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Toutes tes réponses sont parfaitement juste et j'aurais répondu la même chose que toi... jusqu'à ce que j'arrive à la fameuse question 4.
Dans cette question, on parle de "la première boule", ce qui signifie que, pour y répondre, il faut évidement tenir compte de l'ordre dans lequel on a tiré les boules.
Or la réponse que tu as donné à la question 1) correspond au nombre de tirages possibles sans tenir compte de l'ordre dans lequel on a tiré les trois boules (tu as calculé le nombre de combinaisons alors que, si on tient compte de l'ordre des tirages, c'est le nombre d'arangements qu'il faut calculer).

A mon avis, il faut reprendre depuis la question 1) en refaisant tout les calculs dans cette nouvelle optique...

P.S. Pour toutes les question auquelle tu as déjà répondu juste, tu devrait évidement trouver 6 fois plus, vu que, étant donné 3 boules "dans un ordre quelconque", il y a 6 façons de les ordonner.

[Lyam]

Merci de ta réponse !


Quand tu parles du nombre d'arrangement, c'est bien en utilisant la formule :

__n!__
(n-p)!


à la place de

___n!___
p!(n-p)!

?


Je suis sensé trouver 6 fois plus ? Dans les questions auxquelles j'ai déjà répondu, où quand je fais la 4 ?


Pour le moment, j'ai essayer de faire la 5 en faisant :

(8)..(3)..(9) = __8!__ * __3!__ * __9!__ = 8 * 3 * 9 = 216
(1)*(1)*(1) = 1!(8-1)! 1!(3-1)! 1!(9-1)!


Ca me parait plausible non ? :hum:

[Ben314]

Pour la formules des arangement, c'est bien ça.
Pour le "6 fois plus", c'est forcément pour les questions que tu as déjà traiter du fait que paur la question 4), six fois "je sais pas la réponse", ben c'est pas terrible comme nouvelle réponse :hein:

Pour la 5), ta réponse serait O.K. si on considérait qu'un "cas", c'est un truc non ordonné.
Si on considère qu'un "cas", c'est un truc ordonné, alors ce que tu as comme résultat, c'est la réponse à la question 4) et la réponse à la question 5), ben c'est 6 fois plus, c'est à dire 6x216 vu qu'il y a 6 façons possible d'avoir une rouge, une blanche et une noire.

[Lyam]

Ok ok, ce qui me fait donc :

1) 6 840

2) 336

3) 6

4) 216

5) 1 296

Si j'ai bien compris, la réponse à la question 6 est :

6) 8!/(2!(8-2)!) * 3!/(1!(3-1)! * 6 = 504

Non ?

En tout cas merci beaucoup de ton aide !

[Ben314]

Ca m'a l'air tout bon.
mais l'exo est un peu bizare à cause de cette unique question 4) dans laquelle on tient compte de l'ordre...

[Lyam]

Hm, merci beaucoup pour ton aide, cependant, un détail m'ennuie :

Dans mon cours, j'ai


__n!__
p!(n-p)!

et ils me disent que c'est une formule pour le nombre de combinaisons de p éléments dans un ensemble à n éléments, c'est à dire le nombre de façons différentes de choisir un ensemble non ordonné et sans répétition de p éléments parmi n.

Il est dit ici que c'est un ensemble non ordonné. Donc j'aurais eu tendance à utiliser cette formule pour les questions 5 et 6 mais pas pour la 4. Peut tu m'expliquer pourquoi ce n'est pas ça s'il te plait ? Parce que là je me paume un peu....

[Ben314]

Le truc, c'est que, en général dans un exercice de dénombrement, on utilise la même "façon de compter" du début à la fin de l'exo (pour pouvoir comparer les valeurs).

Ici, s'il n'y avait pas eu la question 4), j'aurais sans doute fait comme toi et uniquement compté les tirages "sans tenir compte de l'ordre". Mais il y a la question 4) qui oblige à en tenir compte et, dans ce cas, pour des raisons "d'unité", il vaut nettement mieux donner toutes les réponses avec la même façon de compter les "cas", c'est à dire en tenant compte de l'ordre pour toutes les questions.

Par exemple, si tu tenait compte de l'ordre dans la 4) et pas dans la 5), tu obtiendrait le même résultat aux deux questions et ça ferait tout de même trés "louche" qu'il y ait autant de façon de tirer "rouge puis blanc puis noir" que "rouge blanc noir dans un ordre quelconque".
C'est un peu comme dans un "cas concret" où tu as donné tout les résultats en cm et, à la question 4), tu te rend compte que la bonne unité, c'est le mm : tu as intérêt à convertir les résultats précédents en mm pour qu'ils soient tous facilement comparables.

Il est dit ici que c'est un ensemble non ordonné.

Non, il est dit que l'on tire 3 boules successivement, et ça, ça signifie qu'il y a un ordre (la première, la deuxième, la troisième)

[Lyam]

Ca marche donc si tout est bon, les réponses sont bien :

1) 6 840

2) 336

3) 6

4) 216

5) 1 296

6) 8!/(2!(8-2)!)


Merci de ton aide !