Exo algebre- Gauss / Determinant

[Yozamu]

Bonjour à tous.
J'ai fait un exercice d'algebre, dont voici l'énoncé:

Soit a appartient à R. Résoudre dans R^3 le système:
ax+y+z=1
x+ay+z=1
x+y+az=1
d'abord par la méthode de Gauss, puis par la méthode des déterminants.

Le problème est que j'ai fait faux, puisque j'ai deux résultats différents avec les méthodes...
J'aimerais donc savoir quel résultat est faux; d'ailleurs, les deux le sont peut etre.
Dans ce cas j'aimerais une explication de la méthode sur laquelle j'ai fait faux, parce qu'il me semblait avoir fait ça assez correctement.

Avec la méthode de Gauss, je trouve:
S={(-2a/(1-a),1/(1-a),1/(1-a),a appartient à R\{1}}

Avec la méthode des déterminants, je trouve:
S={(a²-1)/(a^3-a),(a²-1)/(a^3-a),(a²-2a+1)/(a^3-a), a appartient à R\{1}}

D'ailleurs plus je relis mon résultat avec la méthode des déterminants, plus elle me semble fausse, et de meme avec la methode de Gauss.
Pourtant, je ne vois pas ou j'ai pu commetre une erreur.

Merci d'avance

[XENSECP]

Oula tu veux qu'on refasse tout le calcul pour savoir lequel est bon (si l'un des 2 est bon) ?

[Yozamu]

Eh bien, oui, je pense, parce qu'en regardant mon calcul, je ne vois pas ou j'ai pu faire faux..

D'ailleurs, j'ai des problèmes avec la méthode des déterminants car je ne l'ai encore jamais utilisée avant cette fois donc si quelqu'un avait au passage une explication...

[Arnaud-29-31]

Il y a déjà quelque chose qui montre que les deux résultats que tu proposes sont faux.

En effet, une permutation des variables ne changent pas le système. Donc les solutions que tu proposes sont forcément telles que x=y=z

[Yozamu]

Les deux resultats sont faux ou juste incompatibles?

Je veux dire que dans un j'ai x=y et dans l'autre méthode j'ai y=z donc forcément un est faux, mais les deux le sont ils?

[Arnaud-29-31]

Les deux sont faux, à la vue du système on sait que l'on doit trouver des solutions telles que x=y=z.

De plus il faut discuter les valeurs de , si a=-2 on voit que la somme des 3 équations sera nulle donc les 3 équations seront liées ... Cette valeur a=-2 est à traiter à part (elle rend le déterminant nul)

Tout calcul fait tu dois trouver il me semble pour différent de et pour

[Yozamu]

J'ai peut etre fait faux vers le début avec la méthode de Gauss..

J'arrive à ceci:
x+ay+z=1
(1-a)y+(a-1)z=0
-ay+z=1
Et je dis que c'est équivalent à:
x+ay+z=1
y-z=0 (car on a y+((a-1)/(1-a))z=0 et (a-1)/(1-a)=-1)
-ay+z=1

Est ce que j'ai déjà faux à cet endroit ?

Par contre, concernant la méthode des déterminants, je ne vois vraiment pas a quel stade j'ai pu faire une erreur..
On doit utiliser les formules avec le systeme initial non?
J'obtiens pour déterminant de M: a^3-a peut etre ais je deja faux a ce stade?

Pour le trouver, j'ai fait:
det(M)=a*(a²-1)-(1-a)+(1-a)

[Arnaud-29-31]

Tu trouves donc pour le déterminant ?

[Yozamu]

Oui c'est bien ce que je trouve pour le déterminant, et ensuite je l'utilise pour trouver la solution grace aux formules me donnant x0 y0 et z0

[Arnaud-29-31]

Ce n'est pas le bon résultat.
En remarquant la petite subtilité que j'ai cité tout à l'heure (équations liée pour a=-2) on sait que a=-2 doit annuler le déterminant. Ce qui n'est pas le cas dans l'expression que tu proposes.

Tout calcul fait on doit trouver si je me suis pas trompé .

[Arnaud-29-31]

Lorsque tu écris det(M)=a*(a²-1)-(1-a)+(1-a) tu fais je suppose un développement sur la première colonne (ou première ligne cela revient au même ...) l'erreur est dans le deuxième terme on a en fait det(M)=a*(a²-1)-(a-1)+(1-a)

[Yozamu]

Ah oui effectivement!
Moi j'ai agi en pensant que cela ressemblait au produit mixte, les formules et tout ça, donc c'est effectivement comme le produit mixte pour le premier et le troisieme det, mais pas pour celui du milieu...

Au passage, qu'en est-il pour la méthode de Gauss? Les étapes que j'ai proposé sont elles déjà fausses ou ma faute vient elle plus loin?

[Arnaud-29-31]

ll y a plein de façon d'appliquer la méthode de Gauss, c'est dur de repérer quelles opérations tu as choisi de faire. La ligne -ay+z=1 me semble bizarre.

[Yozamu]

Je ne sais pas ou se situe l'erreur dans ce cas.. Voilà ce que j'ai fait:
(A chaque fois que je saute de ligne, c'est qu'il y a une equivalence)

ax+y+z=1
x+ay+z=1
x+y+az=1

x+ay+z=1
x+y+az=1
ax+y+z=1

x+ay+z=1
(1-a)y+(a-1)z=0
(1-a²)y+(1-a)z=1-a

x+ay+z=1
(1-a)y+(a-1)z=0
-ay+z=1

x+ay+z=1
y-z=0
-ay+z=1


Ou est l'erreur?

[Arnaud-29-31]

Jusque la c'est bon :

x+ay+z=1
(1-a)y+(a-1)z=0
(1-a²)y+(1-a)z=1-a

Ensuite la ligen en rouge je vois pas d'où ca sort.

x+ay+z=1
(1-a)y+(a-1)z=0
-ay+z=1

De plus ca ne correspond plus à la méthode de Gauss qui consiste à trianguler le système ... il faut donc faire disparaitre le terme en y dans la dernière ligne.

[Yozamu]

Effectivement, la ligne en rouge est fausse, j'ai voulu simplifier par 1-a..
Mais vu que ce n'est pas possible, comment puis je rendre le coefficient de y égal à 1 dans la deuxieme équation et donc le supprimer dans la troisieme ?

(Le calcul ici n'etait pas fini, je mettais jusqu'a l'endroit ou j'avais un doute)

[Arnaud-29-31]

Si, la simplification par (1-a) est possible sur la deuxième ligne ... ca donne y-z = 0 en deuxième ligne.

[chan79]

Les deux sont faux, à la vue du système on sait que l'on doit trouver des solutions telles que x=y=z.

De plus il faut discuter les valeurs de , si a=-2 on voit que la somme des 3 équations sera nulle donc les 3 équations seront liées ... Cette valeur a=-2 est à traiter à part (elle rend le déterminant nul)

Tout calcul fait tu dois trouver il me semble pour différent de et pour

Bien-sûr,si a=1, il y a une infinité de solutions

[Yozamu]

Si, la simplification par (1-a) est possible sur la deuxième ligne ... ca donne y-z = 0 en deuxième ligne.

Oui mais après je suis bloqué en troisieme ligne...
J'ai en simplifiant (a²-a+2)z=0 et je n'arrive pas à le mettre en coefficient 1.

Bien-sûr,si a=1, il y a une infinité de solutions

Quand on remplace a par 1 dans le systeme initial, c'est évident.
Mais autrement, comment le déduit tu avec des calculs?

[Arnaud-29-31]

Par l'expression du déterminant que l'on a trouvé.
on voit que 1 et -2 annulent le déterminant.