Existence d'une intégrale

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exercice sur l'intégration sur un intervalle quelconque, mais je suis totalement bloqué. Je ne vois pas trop comment avancer.


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Soit un intervalle de R
Soit

Soit une fonction continue sur I, intégrable et à valeur positive.


Je dois étudier l'intégrabilité de la fonction


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La seule chose qui me vient à l'esprit c'est de dire que

et le cas a=1 est immédiat (dominé par une fonction positive et intégrable)


Mais en ce qui concerne , je suis face à un mur...


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Ben314]

Salut,

La majoration que tu utilise est relativement "fine" lorsque f(x) est proche de 0, mais elle est très mauvaise lorsqu'au contraire f(x) est très grand où dans 1+f^a, le 1 ne sert pas à grand chose.
Dans ce cas,il est bien plus "précis" de majorer par ln(f^a)=a.ln(f) lui même inférieur (de beaucoup) à a.f(x).

Donc si tu veut aller un peu "plus loin", il faut utiliser les deux majorations et tu devrait en déduire que, si a>=1, on est assuré que ln(1+f^a) est intégrable sur I, et même qu'elle l'est pour tout a>0 si l'intervalle I est borné.

Par contre, pour I non borné et a<1, tu trouvera facilement un exemple où f est intégrable mais pas ln(1+f^a).

[jonses]

Ok je vois un peu mieux maintenant, merci.

Mais au fait, pour pouvoir utiliser la majoration a.ln(f), il faudrait pouvoir maitriser le comportement de f, et a priori on ne les connait pas.

[Ben314]

C'est absolument pas un soucis : tu coupe I en deux morceaux (mesurables) respectivement égaux à et .
ln(1+f^a) est intégrable sur I ssi elle l'est sur A et aussi sur B.