Existence d'une intégrale

[hervedo]

Bonjour à tous,


Soit , comment expliquer que I_1 n'existe pas ?
Est-ce que le fait de dire que la fonction "inverse" n'est pas définie ou non continue en 0 suffit, et surtout est-ce exact ?

Par avance merci à tous.

[euler21]

Salut
L'intégrale n'existe pas veut dire -dans le cas réel- l'une des choses suivantes :
Soit que l'intégrale tend vers l'infini (comme pour les fonctions)
Soit qu'elle ne tend vers strictement rien du tout (prend l'intégrale de cos sur R+)
Le fait qu'une fonction n'est pas définie en un point ne veut pas dire qu'elle n'est pas intégrable:
la fonction est par exemple intégrable sur l'intervalle [0,1] même si elle n'est pas définie en 0.

[hervedo]

Salut,

Merci de ta réponse Euler21...je voulais dire n'existe pas dans le sens tend vers l'infini.
En ce qui concerne la fonction elle est prolongeable par continuité en 0, ce qui n'est pas mon cas pour ...

[euler21]

Que penses-tu de la fonction ?
Elle n'est pas définie au point 0, pourtant on peut dire qu'elle est intégrable sur [0,1] puisqu'elle est bornée

[sad13]

oui mais peut on l'intégrer de 0 à 1 par exemple?

[euler21]

Par définition f est intégrable sur I si et seulement |f| l'est sur cet intervalle.
Ici, on sait que la fonction sin est bornée (sa valeur absolue est majorée par 1) comme l'intervalle est borné, sa valeur absolue est inférieur à une fonction constante qui est intégrable sur cet intervalle ...
Pour les fonctions positives on a un résultat pour leurs intégrabilités sur un intervalle de type [a,b[, au fait il faut et il suffit que la fonction définie par admette une limite finie en b.
Donc le résultat de l'intégrabilité dans ce cas, il porte sur une limite éventuelle de la primitive de la fonction et non de la fonction elle même.
J'espère que j'ai répondu à la question.

[hervedo]

Merci beaucoup euler21.

[arnaud32]

quel sens donnes tu a si la fonction n'est pas definie au point 0
c'est une integrale impropre
ce que tu cherches est en fait

qui soit dit en passant vaut
or pour 0<t<1

[fal]

vous dites:comment expliquer que I_1 n'existe pas
en general une fct continue est integrable au sens de rieman; pour une fct non continue il faut passer par les limites aux points de discontinuité et c'est votre cas: une primotive estF(x): -1/x
L'integrale est [F(x) entre -1 et 0-] -[ F(x) entre 1 et 0+ ]
la limite en 0- est + infni et la limite en 0+est -infini; le resultat est indetermé