Existence d'une intégrale

par **Kiwiks** » 05 Déc 2010, 09:54

Bonjour,

Je sollicite votre aide car je n'arrive pas à faire un exo...

On considère cette suite :

et on nous demande si son existence est justifiée pour tout n. En fait dans mon cours, on a écrit que une application continue par morceaux est intégrable sur un intervalle si l'intégrale est absolument convergente. Mais la convergence fait l'objet de la question suivante donc je me demandais s'il n'y avait pas une autre méthode pour y arriver.

Je vous remercie de votre aide !

par **Kiwiks** » 05 Déc 2010, 11:24

Je crois que j'ai raconté n'importe quoi au dessus... J'ai trouvé qu'il faut que n>2, c'est bon ?

par **Ben314** » 05 Déc 2010, 11:35

Salut,

Kiwiks a écrit:Je crois que j'ai raconté n'importe quoi au dessus... J'ai trouvé qu'il faut que n>2, c'est bon ?

C'est bon pour la convergence de l'intégrale en +oo mais as tu vérifié que l'intégrale est convergente en 0 ?

par **Kiwiks** » 05 Déc 2010, 11:41

En 0, je trouve que la fonction est equivalente à x^(n/2) et l'intégrale de 0 à 1 de x^(n/2) converge donc je crois que ça marche en 0

par **Ben314** » 05 Déc 2010, 11:42

Kiwiks a écrit:En 0, je trouve que la fonction est equivalente à x^(n/2) et l'intégrale de 0 à 1 de x^(n/2) converge donc je crois que ça marche en 0

Effectivement : il n'y a pas de soucis en 0 (en fait la fonction se prolonge par continuité en 0)

par **Kiwiks** » 05 Déc 2010, 12:03

Chouette merci!
Par contre, je n'arrive pas à montrer que la fonction en dessous de l'intégrale converge uniformément et la dérivée semble plutôt compliquée...

par **Kiwiks** » 05 Déc 2010, 12:06

Je vais essayer de calculer la norme infinie en dérivant

par **Kiwiks** » 05 Déc 2010, 12:32

Je trouve que la fonction (disons fn) est décroissante sur R mais je ne sais pas pour quelle valeur de x fn est maximale

par **Doraki** » 05 Déc 2010, 13:07

comme fn(x) = fn(1/x), moi j'aurais tendance à regarder ce qu'il y a quand x = 1/x.

par **Kiwiks** » 05 Déc 2010, 17:42

Coucou je suis toujours sur mon exo :hum:

Alors j'ai un problème. On me demande d'étudier la convergence de la suite (In).

J'ai commencé par étudier la convergence simple et j'ai trouvé la limite : f= 0 pour x appartenant à R+\{1} et f=1/racine(2) pour x=1

Quant à la convergence uniforme, j'ai étudié les variations de fn. Elle est croissance de 0 à 1 et décroissante de 1 à + l'infini avec fn(1)=1/racine(2)
D'où norme infinie (fn-f) = 1/racine(2) !!! alors qu'il me faut 0!

Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plait ?

Merci infiniment !

par **Ben314** » 05 Déc 2010, 18:34

Ben, là ou on peut NETTEMENT t'aider, c'est que montrer la convergence de l'intégralle In, ben ça veut pas dire du tout qu'il faut montrer que la suite de fonction fn converge uniformément (ni même simplement d'ailleurs)...

Par exemple, ici, n'as tu pas une petite conjecture sur la limite des intégrales In (fait tracer à l'ordi fn pour n=50...) ?
Comment peut on faire pour montrer que cette conjecture est correcte ?

par **Kiwiks** » 05 Déc 2010, 18:41

Ah bon ? :triste: Pourtant dans mon cours on a marque que
si i) pour tout n, fn continue sur [a,b]
ii), fn converge uniformément sur [a,b] vers f

alors i)f est continue sur [a,b]
ii) la suite intégrale de fn (de a à b) converge
iii) intégrale de f = lim intégrale (a à b) de fn

Pourquoi je ne peux pas utiliser ça ?

Merci :)

par **Ben314** » 05 Déc 2010, 18:48

Bon, je vais "faire le méchant" :
Je sais pas à quel niveau tu est, il faudrait peut être commencer à faire la différence entre une implication (le SI... ALORS... du théorème) et une équivalence :
Le théorème ne dit pas que si la suite des In converge alors la suite des fn converge !!!!!!!

Et je soupsonnerais même que ton cours contient de multiples contre exemples montrant que cette réciproque est archi fausse.

par **Kiwiks** » 05 Déc 2010, 18:55

Mais moi je veux au contraire montrer la convergence uniforme de la suite (fn) pour en conclure la convergence de la suite (In), ce que l'on me demande.

par **Ben314** » 05 Déc 2010, 18:57

Kiwiks a écrit:Mais moi je veux au contraire montrer la convergence uniforme de la suite (fn) pour en conclure la convergence de la suite (In), ce que l'on me demande.

Ca veut dire que tu veut montrer PLUS FORT que ce qu'on te demande et, vu les calculs que tu as fait, ben tu sait que ce "plus fort" n'est pas vérifié.
Bien sûr, ça ne remet pas en cause l'énoncé, mais ça prouve que ce n'est pas la bonne méthode ici.

Conclusion : ça aurait pu marcher, mais là, ça marche pas... :cry:

par **Kiwiks** » 05 Déc 2010, 19:03

Arg d'accord ! Mais je ne sais pas trop que faire d'autre... J'ai pas maple chez moi pour tracer la fonction, d'ailleurs c'est un exo d'oral de ccp, je ne sais pas s'ils ont droit aux ordi :hein:

par **Ben314** » 05 Déc 2010, 20:01

Bon, je te donne un coup de pouce :
Si tu majore (assez grossièrement) ta fonction fn sur [0,1] et que tu intégre ton majorant, ça donne quoi ?
Idem sur [1,+oo[.
Conclusion.

par **Kiwiks** » 08 Déc 2010, 20:15

Salut, j'avais pas eu le tps de finir l'exo mais le prof l'a corrigé et il fallait utiliser le théorème de convergence dominé que je n'avais jamais encore utilisé ! En tout cas merci, j'ai bien compris maintenant. D'ailleurs le théorème que je voulais utiliser ne marche que sur un segment.

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