Existence d'une intégrale impropre

[Elvander]

Bonjour,

Je souhaite montrer que l'intégrale suivante existe et est bien défini, malgré la singularité sur les bords

,

où et

[zygomatique]

salut

peut-être calculer le dénominateur en les bornes ... pour voir ce qui se passe ... et surtout comment ça se passe ...

[Ben314]

Salut,

Ton intégrale ne risque pas d'être définie vu que :



et que ta deuxième borne est au delà .

Par contre, pour montrer que ta fonction est intégrable au voisinage de , il suffit de voir que s'annule en mais que sa dérivée ne s'annule pas en et donc que avec et donc qui est intégrable en 0.

[Elvander]

Je voulais dire ;

sinon en ce qui concerne le dernier argumentaire, ok localement le terme racine se comporte comme une racine carré qui est intégrable, mais quel résultat (théorème) invoques tu pour le démontrer rigoureusement ?

[Ben314]

Si est une fonction positive définie sur et intégrable sur tout alors est croissante sur donc elle admet une limite finie lorsque si et seulement si elle est majorée.

Si est une autre fonction positive définie sur et intégrable sur tout et que pour tout alors on a donc si est majorée, alors aussi et ça montre que, si est intégrable au voisinage (gauche) de alors aussi.

Et tu en déduit que, si deux fonctions positives sont équivalentes au voisinage (droit ou gauche) de alors l'intégrabilité de l'une équivaut à l'intégrabilité de l'autre (car le fait qu'elle soient équivalentes implique qu'il existe des constantes et telles que et au voisinage de )

Remarque : Ça marche évidement aussi si les deux fonctions sont négative, voire même en supposant uniquement qu'une des deux reste de signe constant sur un voisinage de (vu que le fait qu'elles soient équivalentes implique que l'autre aussi), mais par contre ça ne marche pas si on prend des fonctions qui changent de signe en permanence lorsque x->x_o (il y a des contre exemples)