Existence d'un recouvrement par des ouverts

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joce
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Existence d'un recouvrement par des ouverts

par joce » 11 Fév 2020, 14:46

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice j'aimerais utiliser le fait que tout espace métrique X admet une infinité de recouvrements par des ouverts. Est-ce juste ? Si oui, comment le démontrer ? J'avais en tête de partir du fait que X est lui même un recouvrement ouvert de X, et après de reconstruire des recouvrements de X en faisant des intersections de X et de boules ouvertes, formant donc des ouverts qui en étant réunis, recouvrent X. Est-ce correct ?

Merci d'avance.



GaBuZoMeu
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Re: Existence d'un recouvrement par des ouverts

par GaBuZoMeu » 11 Fév 2020, 15:03

Si ton espace métrique est fini, ce que tu affirmes n'a aucune chance d'être vrai.

Par ailleurs je n'arrive pas à imaginer quel genre d'exercice pourrait nécessiter cet argument bizarre. Peux-tu en dire plus sur ton exercice ?

joce
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Re: Existence d'un recouvrement par des ouverts

par joce » 11 Fév 2020, 15:51

Merci pour ta réponse.

En fait c'est pas tant l'infinité de recouvrements qui m'intéressait (parce qu'effectivement si on prend un singleton ou même un ensemble fini ça ne marche pas de toute évidence) mais plutôt une méthode pour en définir (où on part de l'ouvert X et on fait l'intersection avec différents ouverts "plus petits" de X). Est-ce que cette méthode vous paraît correcte ?

C'est un exercice dans lequel on me demandait de juger la pertinence de propositions en lien avec des espaces compacts que cette idée de méthode de définition de recouvrements m'est venue. Dans cet exercice j'ai juste besoin de savoir qu'il existe au moins un recouvrement par des ouverts (il suffit de prendre X dans ce cas) pour avancer donc pas de problème, c'était plus par curiosité :)

GaBuZoMeu
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Re: Existence d'un recouvrement par des ouverts

par GaBuZoMeu » 11 Fév 2020, 16:25

Très flou. Ne veux-tu pas être plus précis sur ton exercice ?

 

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