Exercices rang de matrice

[novicemaths]

Bonsoir

Exercice d'entrainement calcul rang de matrice.

Pourriez-vous s'il vous corriger mes calcul ci-dessous ?



À la dernière ligne , il n'y a de des 2.

Donc, la matrice devient une matrice 3 x 3.





det(A)=-1#0

Est-ce que le rang de la matrice A est 3




À la dernère colonne il n'y a que des 0, donc la matrice devient.



On calcul le déterminant de la nouvelle matrice B.



det(B)=3#0.

Est ce que la matrice B est de rang 3 ?







de(C)=0

Le rang de la matrice C est nul.

À bientôt

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Le problème n'est pas avec tes calculs. Il est avec ce que tu écris autour.

Prenons les deux premiers exemples : tu trouves un déterminant 3x3 non nul extrait de la matrice. Tu peux en déduire que le rang de la matrice est au moins égal à 3 (ça doit figurer dans ton cours).
Mais ne viens surtout pas dire "la matrice devient une matrice 3 x 3.". Ça n'a aucun sens !

Le dernier exemple est un peu catastrophique . Tu calcules le déterminant, alors que du premier coup d'oeil tu peux dire que le déterminant est nul puisque la première ligne est nulle. Mon pas mal d'effort d'écriture pour rien, mais ce n'est pas trop grave. Ce qui vient après est beaucoup plus embêtant : le fait que le déterminant soit nul ne veut absolument pas dire que le rang est nul ! Où as-tu vu ça ? La seule matrice de rang nul est la matrice nulle.
Reprends ce dernier exemple et détermine le rang de manière correcte.

[novicemaths]

Re bonsoir



Matrice extraite de la matrice C



Si j'ai compris le cours. Si le déterminant d'une matrice extraite est nul, alors la matrice d'où est extraite cette matrice est de rang 1.

Alors le rg(C)=1.

À bientôt

[GaBuZoMeu]

Ton raisonnement ne tient pas : il ne suffit pas d'avoir un déterminant 2x2 extrait nul, il faudrait que tu montre que TOUS les déterminants extraits 2x2 sont nuls pour que tu puisses en déduire que le rang est strictement plus petit que 2.
Cette matrice est clairement de rang 1 : la première ligne est nulle, la troisième est l'opposée de la deuxième.

[tournesol]

A la dernière ligne , il n'y a que des 2 .
Je kiffe grave les 2.
Ma matrice devient

Son det est égal à(Sarrus)
(1×0×2+0×2×0+2×0×1)-(2×0×0+1×2×1+2×0×0)=-2
Donc son rang est 3
Rappel:le rang d'une matrice est égal a la taille maximale d'une sous matrice carrée de déterminant non nul.
Rappel pour les pros: cette caractérisation intrinsèque du rang montre qu'il ne dépend que du corps de ses coefficients.

[GaBuZoMeu]

Tournesol, je ne suis pas d'accord avec ton message :

1°) "Ma matrice devient" : la matrice ne devient rien du tout. Tu extrais une matrice 3x3 de la matrice 4x3. Tu renforces la confusion de novicemaths quand il écrit "la matrice devient une matrice 3x3".

2°) "Rappel pour les pros: cette caractérisation intrinsèque du rang montre qu'il ne dépend que du corps de ses coefficients." : tu voulais dire que ça ne dépend pas du corps, autrement dit que ça ne change pas par extension du corps de base ?

[tournesol]

pas du corps de base , mais du corps engendré par ses coefficients . Mais à y réfléchir ma phrase est mal tournée.
Il est déterminé par le déterminant sur le corps de ses coefs et donc il est indépendant de ses extensions.
On peut même en déduire , sans connaitre la formule de l'inverse , que l'inverse d'une matrice a ses coefs dans le corps de ses coef(ambigu , je sais)
Quand à ma première phrase , ce n'était qu'une parodie "pédagogique" de la phrase de l'étudiant .
J'ai voulu dire que la suppression des 2 n'a rien de pertinent .