Exercice sur Pell-Fermat : bloquée

par **goudou** » 13 Fév 2010, 15:14

Bonjour à tous !
Je suis en train de faire un exercice, et je bloque totalement, ce qui m'empêche de faire la suite :/ Je vous mets en bleu les réponses que j'ai trouvées, et en rouge celles où je coince.

1) Résoudre l'équation de Pell fermat
(1) : x²-10y²=1, avec x et y appartenant à Z
en utilisant le développement en fractions continues de racine(10)

-> J'ai trouvé \/¯10 = [3,6,6,6,6,...]. Comme la période minimale est m=1, on a comme solution fondamentale (p1,q1)=(19,6), ainsi :
x+y\/¯10=+ ou -(10+6*\/¯10)^t, avec t dans Z.

2)Trouver une solution particulière (x0,y0) de l'équation
(2) : x²-10y²=-1, avec x et y appartenant à Z.

-> J'ai trouvé facilement x0=3, et y0=1.

2a) Soit (x1,y1) une solution de l'équation (2). On pose :
X+Y*\/¯10 = (x1+y1*\/¯10)(x0+y0*\/¯10).
Montrer que (X,Y) est solution de l'équation (1) et en déduire toutes les solutions de (2).

C'est là que je suis bloquée. J'avais dit (x1+y1*\/¯10)=-1, car (x1,y1) est solution de (2), et (x0+y0*\/¯10)=-1, car (x0,y0) est aussi solution de (2), mais ça n'est pas correct apparemment. Je ne vois pas comment faire :S J'ai essayé de le faire en écrivant
(x1)²-10(y1)²=(x1-y1*\/¯10)(x1+y1*\/¯10), mais je reste coincée ...

2) En déduire les élèments inversibles de Z(\/¯10)

-> Soit a=x+b*\/¯10. a est inversible si N(a)= + ou - 1. Or, N(a)=x²-10y². Donc les éléments inversibles seront l'ensemble des solutions de (1), et de (2).

3) On considère l'équation :
(3) : x²-10y²=16, avec a et b appartenant à Z.
Soit (x',y') une solution de l'équation (3).

a) Montrer que x' congru à 0 [4], et y' congru à 0 [4]

-> Là, je ne vois pas du tout ...

par **goudou** » 13 Fév 2010, 18:03

Personne ? :hein:

par **alavacommejetepousse** » 13 Fév 2010, 23:45

pour z = x + yrac(10)
notant z ' le conjugué de z,z' = x- y rac(10)
le conjugué du produit est le produit des conjugués
lorsque z solution de (1) ou (2) le conjugué est l 'inverse ou l'opposé de l'inverse, tu en déduiras le conjugué de Z et que Z est solution de (1)

par **goudou** » 14 Fév 2010, 09:34

Merci de ta réponse !
Je ne te suis que moyennement cependant. Tu dis "lorsque z solution de (1) ou (2) le conjugué est l 'inverse ou l'opposé de l'inverse", mais on ne sait pas que (x1+y1*\/¯10) est solution de (1) ou de (2), ni (x0+y0*\/¯10).
Et je ne comprends pas non plus en quoi le conjugué de (X+Y*\/¯10) peut nous aider :triste:

par **alavacommejetepousse** » 14 Fév 2010, 11:48

je pensais que c'était dans l'énoncé que (x0,y0) sol et (x1,y1) aussi... (lire la question précédente)

tu multiplieras Z par son conjugué ensuite et tu auras le résultat attendu.

par **Doraki** » 14 Fév 2010, 12:07

Pour le 2a),
si tu connais la norme dans Z[racine(10)], et que tu sais qu'elle est multiplicative,
tu as vu que les solutions de (1) sont les éléments de norme 1 ;
et que les solutions de (2) sont les éléments de norme (-1) ;

et donc que si x0 est solution de (1) et x1 solution de (2), alors
x0*x1 est solution de (2) car N(x0*x1) = N(x0)*N(x1) = 1*(-1) = -1.

par **goudou** » 14 Fév 2010, 13:11

Doraki, x0 est solution de (2), et pas de (1). Donc ton raisonnement n'est pas correct :hein:

Néanmoins, merci beaucoup, car grâce à vos réponses, je pense avoir compris comment résoudre ce problème.
En fait, on veut chercher la norme de (X+Y*\/¯10), soit (X+Y*\/¯10)(X-Y*\/¯10)=X²-10Y². Comme N(xx')=N(x)N(x'), on a
N((X+Y*\/¯10))=(X+Y*\/¯10)(X-Y*\/¯10)=N((x1+y1*\/¯10)(x0+y0*\/¯10))
=N(x1+y1*\/¯10)N(x0+y0*\/¯10)
=[(x1+y1*\/¯10)(x1-y1*\/¯10)][(x0+y0*\/¯10)(x0-y0*\/¯10)]
=(-1)*(-1)
=1
car (x1,y1), (x0,y0) sont solution de (2). Donc, (X,Y) est bien solution de (1).

Ai-je bien compris ?

Et quelqu'un sait-il comment résoudre la question 3a) au passage ?

par **Doraki** » 14 Fév 2010, 13:50

Ben pour le 3a), commence par montrer que x doit être pair, simplifie, et recommence.

par **goudou** » 14 Fév 2010, 18:59

Ben ... Je ne vois pas comment faire :/

Quand je l'ai fait, j'ai essayé de montrer que x'=4k avec k dans Z, et de même pour y', mais je ne tombe sur rien d'intéressant.
Donc pour montrer que x' doit être pair, je ne vois pas d'autre méthode ...

par **goudou** » 15 Fév 2010, 11:06

Je rajoute également une question, car je ne suis pas sûre de ce que j'ai répondu. A la question 2a), on demande d'en déduire toutes les solutions de (2).
J'ai dit qu'il s'agit de l'ensemble des (x1,y1) vérifiant x1+y1*\/¯10=(X+Y*\/¯10)/(x0+y0*\/¯10),
avec (X,Y) solution de (1) et (x0,y0) solution particulière de (2)
Je ne pense pas que ce soit correct, mais en même temps, comme il faut "en déduire", j'ai un doute.

par **Doraki** » 15 Fév 2010, 20:14

En effet, l'argument de 2a) ne permet pas immédiatement d'en déduire ça.
A priori il peut falloir plusieurs solutions particulières de (2) pour recouvrir toutes les solutions.

Cependant, ici tu cherches les éléments de norme (-1) de

.
Et si x1 et x2 sont deux éléments de norme (-1), alors en fait (x1/x2) est de norme 1, et est dans

(alors qu'a priori il est seulement dans son corps des fractions) :

Et ça implique bien que x2 = x1 * un inversible ; et les inversibles, tu les connais.

par **goudou** » 16 Fév 2010, 09:20

Doraki, je ne comprends pas vraiment ton raisonnement :/ Il n'est pas dans le cheminement de la première partie de la question, donc ce n'est pas vraiment "en déduire" ?!
Tes éléments x1 et x2 se rapportent aux couples (x0,y0), et (x1,y1), mais dans la première partie, on a fait le produit de leur norme, et pas le quotient. Je ne comprends donc pas pourquoi on part sur x1/x2, et encore moins la conclusion :S

Désolée, j'ai des difficultés avec cet exercice, mais je voudrais le maîtriser parfaitement, étant donné que je n'ai trouvé que très peu d'exercices sur Pell Fermat :hum:

par **Doraki** » 16 Fév 2010, 11:49

Ah désolé depuis le début j'avais mal lu la question 2a, donc tu peux laisser tout ce que j'ai dit avant.

Tu sais que les éléments de norme 1 sont de la forme u^n avec

Le 2a) te dit que si x0 et x1 sont deux éléments de norme (-1) alors leur produit x0*x1 est de norme 1, donc est de la forme u^(n+1).

Par exemple,

.

Donc on peut dire que x0*x1 = x0*x0*u^n, et en simplifiant par x0, que x1 = x0 * u^n.

par **goudou** » 16 Fév 2010, 13:17

Je comprends bien mieux :we:
Il n'y a qu'une chose que je n'arrive pas à trouver ! En fait, j'ai recherché sur le net les solutions du cas x²-ny² = -1 (Wikipedia) :

On démontre que si (x1,y1), est une solution particulière, alors les couples (xk,yk), vérifiant
xk+yk*\/¯n = (x1*y1\/¯n)^k avec k=1,3,5,7,...
sont les solutions générales.

Donc dans le cas de mon exercice, on devrait avoir les solutions du type xk+yk\/¯10=(x0*y0\/¯10)^k avec k impair de N. Et c'est là que je bloque.
Enfin merci, car j'ai déjà bien débloqué depuis le début de mon exercice

Par contre, je n'ai toujours pas réussi à prouver la congruence de la dernière question :briques:

par **Doraki** » 16 Fév 2010, 14:37

Ben si x0 est l'un des éléments de norme (-1) dont le carré est l'un des deux générateurs des éléments de norme 1,
les éléments de norme (-1) sont de la forme x0*u^n = x0*(x0²)^n = x0^(2n+1).

Mais si tu prends un x0 au hasard, l'ensemble des x0^(2n+1) ne sera généralement pas l'ensemble de tous les éléments de norme (-1).

Quant à la congruence :
Montre que x = 2 x'
Montre que y = 2 y'
Montre que x' = 2 x"
Montre que y' = 2 y".

par **goudou** » 17 Fév 2010, 11:29

Merci beaucoup :we: J'ai enfin "bouclé" cet exo !!

par **Ben314** » 17 Fév 2010, 12:11

C'est parfaitement correct, mais, écrit tel quel, il n'est pas trés clair que le x1 et le y1 de :
x1+y1*\/¯10=(X+Y*\/¯10)/(x0+y0*\/¯10)
soient bien des entiers.

Vu que x0,y0 vérifient (2), tu devrait trouver trés simplement l'inverse de x0+y0*\/¯10 et réécrire la formule de façon plus "claire".

Exercice sur Pell-Fermat : bloquée

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