Equation de Pell-Fermat

[moisyl]

Bonjour,

Voilà, il y a un problème qui me résiste.
On considère l'ensemble Z[;)7]={a+b;)7|a,b;)Z}.
J'ai précédement montré que (Z[;)7],+,X) est un anneau, on a défini le conjugé comme x(barre)=a-b;)7
L'énoncé définissait aussi la norme N(x) de x: N(x)=x.x(barre)
On note alors G l'ensemble {x;)Z[;)7]|N(x)=1}
On a alors prouvé que (G,X) est un groupe.
On prends alors x;)G tel que x>1, avec donc a et b entiers tels que x=a+b
On a montré que a et b positifs.
Bref, maintenant je dois montrer d'une part que b>2 et a>7, et d'autre part en déduire que cet ensemble des x admet un plus petit élément sur R.

Voilà, si vous pouvez me donner quelques idées, je serait prenneur!
Merci d'avance!

[Manny06]

en utilisant x= a+bV7 avec a et b entiers positifs et a²-7b²=1 (1)
tu peux montrer que si b=1 ou b=2 (1) n'a pas de solutions
ensuite a²=7b²+1 avec b>2 donne a²>29
verifie que a=6et a=7 ne donnent pas de solution