Equations de Pell ou pas ?

par **matha** » 15 Jan 2007, 11:16

Bonjour

En recherchant un problème d'arithmétique, j'ai trouvé sur le web l'existence d'équations de Pell pour l'équation qui me concerne qui est de la forme :

an²+bm²=k² tous appartenant à Z d'inconnues n et m; a, b et k fixés

Les explications trouvées semblent généralistes ou pas accessibles à mon niveau (terminale).

Est-ce effectivement des équations de Pell ou est-ce résolvable d'une autre manière ?

Par exemple, la famille d'équation (Ek) : 8n²-3m²=k² admet-elle des solutions (n,m) entières selon les valeurs de k ?

Je vous remercie pour vos avis.

Matha

par **fahr451** » 15 Jan 2007, 12:31

pour moi ce n'est pas une équation de pell

par **matha** » 15 Jan 2007, 12:38

Merci fahr de ta réponse

ici : http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html

Wolfram laissait entendre que c'en était une et, en page de liens, disait que Mathematica savait les résoudre

Sais-tu si Mathematica est accessible en ligne ou est-ce un logiciel payant ?

par **fahr451** » 15 Jan 2007, 12:39

je connais un peu les bouliers et guère les règles à calcul, je sais qu'il existe des moyens autres de calcul lesquels?

par **fahr451** » 15 Jan 2007, 12:43

Wolfram (donc) dit qu'on peut les résoudre par le biais des équations de pell
nuance

par **matha** » 15 Jan 2007, 12:43

je ne vois pas ce que tu veux dire ?

laisserais-tu entendre qu'il est facile de résoudre :

8n²-3m²=1 ?

8n²-3m²=4 ?

8n²-3m²=9

...

par **fahr451** » 15 Jan 2007, 12:47

Moi je ne dis rien j'ai lu ce que wolfram écrivait sur le lien que tu donnais

par **matha** » 15 Jan 2007, 12:58

Connais-tu un lien qui exposerait la résolution de ce type d'équations ?

Je suis un peu perdue avec ces équations diophantiennes

par **fahr451** » 15 Jan 2007, 14:05

non désolé aucun

par **alben** » 15 Jan 2007, 15:31

Bonjour,

L'équation générale que tu proposes n'est pas une équation de Pell a proprement parler mais on peut assez souvent s'y ramener par des considérations de modulo (reste de division euclidienne).
Par exemple l'équation 8n²-3m²=k² implique que n et k soient multiples de 3.
En effet, le reste de la division par 3 d'un carré est toujours 1 ou 0. Si n² a pour reste 1, alors k²=8n²-3m² aura 2 pour reste, ce qui est impossible.
Après simplification, ton équation devient donc (avec n=3n' et k=3k') :
m²=24n'²-3k'², ce qui signifie que m est lui aussi multiple de 3... et en posant m=3m', on retombe sur l'équation de départ avec des entiers qui ont tous été divisés par 3.
Finalement, on arrive a démontrer que cette équation n'a aucune solution.
Mais chaque cas reste particulier, il n'y a pas de solution générale à ma connaissance (les équations elliptiques ? mais c'est un autre niveau)

par **matha** » 16 Jan 2007, 09:17

Merci beaucoup alben pour cette explication

Si je te comprends bien, chaque équation doit être analysée au cas par cas dans le but de se ramener à une équation générique de Pell ?

Aurais-tu un lien ou un cours qui soit accessible (niveau Tle) sans pour autant nécessiter des connaissances de structure d'ensembles (groupe, corps et autres joyeusetés) ?

Un développement basé sur des exemples résolus me conviendrait a minima.

Désolée pour ces questions

Matha

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