Equations de Pell Fermat

[goudou]

Bonjour à tous !

Je sais comment résoudre les équations de Pell Fermat : x²-dy²=m dans le cas où m=+1 ou -1, mais je ne sais pas du tout comment procéder dans les autres cas ...
Je ne trouve aucun cours là dessus.

Par exemple, comment résoudre x²-10y²=9 ?
Je sais que : Racine(10) = (3,6,6,6,6,6,...)
La solution fondamentale de x²-10y²=1 est (19,6).
Mais je ne sais pas du tout quoi faire de plus. Quelqu'un peut il m'expliquer comment résoudre ceci ?

[Doraki]

A la solution fondamentale est associée une application (x,y) -> (x',y') qui conserve le produit scalaire <(x,y) ; (x',y')> -> xx'-10yy'.
(C'est celle que tu as quand tu cherches toutes les solutions de x²-10y² = 1)
Avec cette application tu n'as qu'une petite zone de Z*Z à regarder pour trouver des solutions primitives de x²-10y² = 9. Dans cette zone tu obtiens un nombre n de solutions distinctes, et quand tu leur appliques l'isométrie, tu obtiens toutes les autres solutions.

Sinon, on peut étudier Q[racine(10)] mais c'est un peu compliqué.

[goudou]

Je n'ai pas tout compris ...

"C'est celle que j'ai quand je cherche toutes les solutions de x²-10y² = 1'", donc (x',y') solution de x²-10y²=1, alors il existe m dans Z tel que x'+racine(10)y'=(19+6racine(10))^m

Cependant à partir de là, je n'arrive pas à trouver les solutions primitives de x²-10y²=9

[Doraki]

Bon je note r = sqrt(10).
L'application en question est la "multiplication" par 19+6r
Si (x,y) est solution, (x+yr)(19+6r) = (19x+60y) + (6x+19y)r aussi.

L'application est f : (x,y) -> (19x+60y, 6x+19y).
Tu devrais vérifier que si (x',y') = f(x,y), alors x²-10y² = x'²-10y'²
En fait les solutions de x²-10y² = 9 sont obtenues en appliquant ce truc à un nombre fini de solutions.

Pour savoir comment les chercher, c'est mieux de dessiner les courbe x²-10y²=k dans R², et ce que fait cette application linéaire.
En fait tu n'as qu'une petite portion de la courbe x²-10y² = 9 à étudier.