Exercice équation de Pell-Fermat

[Redgun]

Bonjour,
Je suis en train de travailler sur cet exercice portant sur une équation de Pell-Fermat mais je bloque à la fin. Voici l'énoncé :

On note l'ensemble {}.
1. a) Montrer que est un sous-groupe de .
b) Montrer que est stable par la loi , puis en déduire que est un anneau commutatif.
2. a) Montrer que est irrationnel.
b) Montrer que, pour tout , il existe un unique couple tel que .
L'élément est appelé conjugué de et est noté . On note aussi et que l'on appelle la norme de .
3. Montrer que l'application est un morphisme d'anneau de dans lui-même.
4. a) Pour tout , montrer que est un entier.
b) Pour , établir .
c) Montrer que est inversible si et seulement si .
d) On note . Montrer que est un groupe.
e) Expliquer en quoi la détermination des éléments de G est équivalente à la détermination des solutions entières de .
5. Soit . On considère .
a) Calculer et en déduire que a>0.
b) Montrer que et en déduire que b>0.
c) Montrer que b>=3 et a>=8.
d) En déduire que contient un plus petit élément pour l'ordre naturel sur .
e) Montrer qu'il existe un entier naturel tel que .
f) En déduire que .
g) Montrer finalement que .
6. En déduire toutes les solutions de l'équation .

Je reste bloquer aux questions 5.e) et 5.f) je ne vois vraiment pas comment démontrer cette double inégalité ni par où commencer. Pourriez-vous me donner quelques indications.
En vous remerciant par avance,
Louis

[tournesol]

5e plus petit élément , donc supérieur à 1 , donc la suite de tg est croissante et tend vers +infini . donc il existe n" telque x< . l'ensemble des n" qui vérifient cette propriété n'est pas vide et possede donc un plus petit élément n' . n' est supérieur à 0 car x>1 .
Si on pose n=n'-1 , on a bien
5f si alors
Donc mais serait inférieur à son plus petit élément .
Donc