Exercice sur les équations différentielles

[Engel10]

Bonsoir à tous, j'espère que vous allez bien.
Voici, j'ai une petite incompréhension sur ce sujet

La question b précisément. Quand j'ai calculé j'ai trouvé y(x)= a exp(x) + bexp(x)*[ primitive de
exp(-x)/x ].
Ce que je ne comprend c'est pourquoi ils ont remplacé primitive de exp(-x)/x par intégrale de 1 à x de exp(-t)/t dt
Ce que je sais aussi c'est que si on doit mettre la primitive sur la forme d'une intégrale, il faudrait que le 1 annule la primitive de exp(-t)/t dt, or je n'arrive pas à déterminer cette primitive. Pourquoi c'est 1 qu'ils ont choisi ?
Merci d'avance !
Bonne soirée !

[Engel10]

Svp ... Jai besoin d'aide

[tournesol]

La réponse est très simple .
Les solutions de E1 sur ]0;+infini[ sont exactement les solutions de l'équa diff y'-y=b/x
a exp x est la solution générale de l'équation homogène y'-y=0
les solutions particulières de y'-y=b/x sont de la forme bexp(x)(primitive de exp(x)/x)
Il te faut ajouter à a exp x une seule solution particulière pour décrire toutes les solutions .
On peut donc choisir la primitive que l'on veut .
C'est ce qu'a fait l'auteur de cet exo .

[Engel10]

Ok je vois. Merci !
Pour la question c. je trouve à peu près le même résultat, mais si je peux choisir l'intervalle que je veux pour calculer l'intégrale, alors pourquoi dans la correction, on a y(x)=αexp(x) + βexp(x)×( intégrale de -1 à x de exp(t)dt/t ) ?

[tournesol]

Tu ne choisis pas l'intervalle que tu veux .
C'est la borne que tu choisis librement dans l'intervalle de définition des solutions qui est ici ]-infini ; 0[

[Engel10]

D'accord, je vous remercie !
Bonne journée !