Exercice sur les équations différentielles et les series

[Andamir93]

Bonjour,

J’aurai besoin d’aide pour réaliser un exercice de math sur les équations différentielles et les séries entières. Voici l’énoncé :



Je suis actuellement à la question 3(b) et je n’est aucune idée de comment résoudre celle-ci.

Si quelqu’un a une idée, je suis preneur !

Merci beaucoup !

[Black Jack]

Bonjour,

Pas par la méthode demandée, mais cela te permettra peut être d'aboutir en voyant où on devrait arriver au final... si je ne me suis pas trompé quelque part.

x²y" + 4xy' + (2-x²).y = 1

Avec x différent de 0 :

Posons y = z/x²
y' = (x²z'-2xz)/x^4
y' = (xz' - 2z)/x³

y" = [x³*(z'+xz"-2z')-3x²(xz'-2z)]/x^6
y" = [x*(z'+xz"-2z')-3(xz'-2z)]/x^4
y" = (xz'+x²z"-2xz'-3xz'+6z)/x^4
y" = (x²z"-4xz'+6z)/x^4

L'éq devient : (x²z"-4xz'+6z)/x² + 4(xz' - 2z)/x² + (2 - x²).z/x² = 1

(x²z" - 4xz' + 6z + 4xz' - 8z + 2z - x²z) = x²
x²z" - x²z = x²
z" - z = 1

Dont les solutions générales sont : z(x) = A.e^x + B.e^-x - 1

et donc y(x) = (A.e^x + B.e^-x - 1)/x²
***********

lim(x-->0+) [(A.e^x + B.e^-x - 1)/x²]

ne peut donner une valeur dans R que si lim(x-->0+) (A.e^x + B.e^-x - 1) = 0
donc si A + B - 1 = 0

Les solutions deviennent alors :

y(x) = (A.e^x + (1-A).e^-x - 1)/x²

Il reste à vérifier si lim(x--> 0+) [(A.e^x + (1-A).e^-x - 1)/x²] existe

C'est une indétermination du type 0/0 --> Règle du génial Marquis (de Lhospital)

= lim(x--> 0+) [(A.e^x - (1-A).e^-x)/(2x)]

Pour que cette limite existe, il faut que lim(x--> 0+) (A.e^x - (1-A).e^-x) = 0
Donc que A - (1-A) = 0 --> A = 1/2

La seule solution possible est alors : y(x) = ((1/2).e^x + (1/2).e^-x - 1)/x²

y(x) = (e^x + e^(-x) - 2)/(2x²)

On vérifie que lim(x-->0+) [(e^x + e^(-x) - 2)/(2x²)] existe
C'est une indétermination du type 0/0 --> Règle du génial Marquis (de Lhospital)
= lim(x--> 0+) [(e^x - e^-x)/(4x)]
C'est une indétermination du type 0/0 --> Règle du génial Marquis (de Lhospital)
= lim(x-->0+) [(e^x + e^-x)/4] = 1/2 , la limite existe.

**************

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Revenons à la question 3b, maintenant que BlackJack a montré qu'il savait résoudre l'équadiff. (Il aura un deuxième bon point.)

si , quel est le coefficient de dans la série , pour ?

Au fait, il y a une coquille dans l'énoncé, il faut lire .

[Black Jack]

Bonjour,

Revenons à la question 3b, maintenant que BlackJack a montré qu'il savait résoudre l'équadiff. (Il aura un deuxième bon point.)

si , quel est le coefficient de dans la série , pour ?

Au fait, il y a une coquille dans l'énoncé, il faut lire .

Je suis vraiment comblé, je le mets bien au chaud avec l'autre.

[Black Jack]

Rebonjour,

y = ao + Somme(dek=1 à oo) a_k . x^k
y' = Somme(dek=1 à oo) a_k * k * x^(k-1)
y'' = ...

On remet ces résultats dans l'équation différentielle initiale et après quelques manipulations on arrive à :

Somme(dek=1àoo) [a_k . x^k*(k²+3k+2)-a_k.x^(k+2)] + 2ao - ao * x² = 1

Doit être vérifié pour x --> 0+ et donc 2ao = 1
ao = 1/2

et donc : Somme(dek=1àoo) [a_k . x^k*(k²+3k+2)-a_k.x^(k+2)] - x²/2 = 0

Le terme en x² donne : a_2 .x² * (2²+3*2+2) - x²/2 = 0
qui impose 12 * a_2 - 1/2 = 0
a_2 = 1/24

terme en x_k : a_k.x^k(k²+3k+2) - a_(k-2)*x^k = 0 (pour k >= 2)
et donc a_k * (k²+3k+2) - a_(k-2) = 0
a_(k-2) = a_k * (k²+3k+2)

....

Aux distractions près.

[GaBuZoMeu]

Décidément, Black Jack ne peut pas s'empêcher de répondre à la place du questionneur. Cette fois-ci, il ira au coin pour sa punition.

Black Jack, pourquoi te comporte-tu ainsi ? Qu'est-ce que tu tiens tant à prouver en faisant les exercices à la place du questionneur plutôt que de les laisser réfléchir par eux-mêmes ?

[Black Jack]

Décidément, Black Jack ne peut pas s'empêcher de répondre à la place du questionneur. Cette fois-ci, il ira au coin pour sa punition.

Black Jack, pourquoi te comporte-tu ainsi ? Qu'est-ce que tu tiens tant à prouver en faisant les exercices à la place du questionneur plutôt que de les laisser réfléchir par eux-mêmes ?

Chacun répond de la manière qui lui semble la moins mauvaise.
J'ai déjà expliqué maintes fois ma manière de voir les choses et je n'y reviendrai donc pas.

Et pourquoi donc faire des remarques incessantes sur mes réponses alors que tu restes muet sur les interventions d'autres membres qui répondent presque systématiquement de manière détaillée ... et beaucoup plus souvent que moi ?

[GaBuZoMeu]

J'ai aussi distribué des bons points à d'autres intervenants. Tu t'es fait exclure du forum ilemaths pour ton comportement. Ici, la modération est plus laxiste

[Black Jack]

J'ai aussi distribué des bons points à d'autres intervenants. Tu t'es fait exclure du forum ilemaths pour ton comportement. Ici, la modération est plus laxiste

Black Jack n'a jamais été sur ilemaths.

[GaBuZoMeu]

Effectivement, tu n'avais pas le même pseudo sur ilemaths (c'était J-P, si tu ne te souviens pas)..

[Black Jack]

Effectivement, tu n'avais pas le même pseudo sur ilemaths (c'était J-P, si tu ne te souviens pas)..

Non
Mais si il n'était pas du même avis que toi, je le comprends

[GaBuZoMeu]

Ton nez s'allonge.