Exercice sur la continuité

[porsche965]

Bonjour,

Voici le sujet de mon exercice:



Pour les 3 premières questions, je ne sais pas comment procéder. Quelqu'un pourrait m'indiquer la marche à suivre?

Merci d'avance,
Cordialement.

[yondene]

salut,
pour tes 3 premières questions je croit que c'est assez facile:
a) le calcul de la limite de la fonction en 0 est assez simple je dirais meme evident car
f_n(x)=x^n - x^(n-1)[xln(x)] or la limite de cela est 0 qui est justement f_n(0)
b) pour cette question tu va appliquer directement la definition de la dérivée cela revient a calculer une limite qui doit tendre vers un nombre finie or ceci n'est possible que si n>1.
c) si c x qui tend vers l'infini alors la limite de la fonction est -l'infini
si c n qu'on tend vers l'infini alors une discution selon la valeur de x se pose:
si x>e alors la limite est -l'infinie
si x si x=e alors notre limite est 0
2- a) l'étude de cette différence est trés simple et on a un signe plus sur lintervalle x appartient a [1,e] si non c negatif.
la différence s'annule pour x appartient a {0,1,e}
b) tu peut directement déduire la position relative du signe de la différence qu'on vien d'etudier.
on a deja montré que quelquesoit n la différence deja étudié s'annule pour 3 valeurs d'ou la conclusion voulu.
le reste c que du calcul élémentaire.
j'espére que je vous ai aidé un peu.

[porsche965]

Bonjour,

Merci pour cette réponse très complète.

Néanmoins je ne comprend pas certains points:

pour la 1/b/

Tu dis qu'on ne peut pas dériver si n<1 mais je ne suis pas sûr de comprendre. Ce que j'ai compris c'est que:

si n<1 c'est que ici, n=0 donc on aurait:

fn(x)= 1(1-ln(x)) et donc fn'(x)= 1 - 1/x (?)

Ce qui fait que si on fait la limite en 0 de fn', on a:

lim (x -> 0) fn' = -oo


C'est bien ce qu'il fallait comprendre ?

D'autre part, pour la 1/c/

Comment tu détermines la limite si x -> +infini ? Car sous sa forme actuelle, la limite donne l'infini - l'infini donc ....