Extensivité sur Q et continuité en 0 => Extensivité sur R

[Exquise Sensation]

Soit f un application de R dans R continue en 0 et Q-extensive (c.a.d: vérifiant pour tout couple (z,z') de rationnels f(z+z')=f(z)+f(z')).

Montrer que f est R-extensive

Mes idées:

On a que pour tout E>0, il existe B(0,r) tq r>0 et pour tout x dans B(0,r) |f(x)-f(0)|<=E
donc pour tout q rationnels dans B(0,r) et pour tout a rationnel: |f(q+a)-f(a)|=|f(q)-f(0)<=E (Q-linéarité)

Soit x réel quelconque,
Donc pour toute suite (xn) de rationnels qui converge vers x réel: |f(xn+a)-f(a)|=|f(xn)-f(0)|
Et en passant à la limite comme f est continue en 0 on a facilement que f est continue en tout rationnel...

(Edit j'ai trouvé comment brûler une étape..)
Soit y et z réels quelconques,
en prenant (yn) et (zn) deux suites de Q qui convergent resp. vers y et z réels on a:
d'une part: pour tout n f(yn+zn)=f(yn)+f(zn),
Et d'autre part en passant à la limite par continuité de f en yn zn et yn+zn (Q est un groupe pour + !!!^^)
f(y+z)=f(y)+f(z).

Je me répète 2 fois!
Quelqu'un voit un faille dans ce que j'ai fait ou un moyen d'aller plus vite je trouve ça bête d'utiliser 2 fois la même propriété..

[Nightmare]

Salut,

c'est qui ton a dans |f(xn+a)-....... ?

Si (xn) converge vers un réel x , f(xn)-f(x)=f(xn-x) qui converge vers 0 par continuité de f en 0 (car xn-x converge vers 0). Donc f(xn) converge vers f(x) et ce quel que soit le réel x, donc f est continue sur R tout entier.

C'est ce que tu voulais écrire je pense, mais je comprends pas ce que tu fais avec tes (xn) et (yn) (et tes a :lol3: )

[Exquise Sensation]

Salut,

c'est qui ton a dans |f(xn+a)-....... ?

Si (xn) converge vers un réel x , f(xn)-f(x)=f(xn-x) qui converge vers 0 par continuité de f en 0 (car xn-x converge vers 0). Donc f(xn) converge vers f(x) et ce quel que soit le réel x, donc f est continue sur R tout entier.

C'est ce que tu voulais écrire je pense, mais je comprends pas ce que tu fais avec tes (xn) et (yn) (et tes a :lol3: )

Mon a c'est toujours le a quelconque de la ligne du dessus désolé ^

f(xn)-f(x)=f(xn-x) ça on peut pas l'écrire si x est réel justement on a seulement la Q-linéarité

[Nightmare]

Désolé, j'étais parti sur un exercice différent (enfin le même, mais avec les données dans le désordre).

Ce que tu as fait (avec ton edit en plus) me va!

[Exquise Sensation]

Désolé, j'étais parti sur un exercice différent (enfin le même, mais avec les données dans le désordre).

Ce que tu as fait (avec ton edit en plus) me va!

Pas de problème! et merci pour la validation ^
En fait je pense que peut-être en prenant les bonnes suites de rationnels zn et z'n il est possible de n'utiliser qu'une seule fois la densité de Q dans R et arriver directement au résultat. T'aurais une idée pour soit me dire que ce raccourci n'existe pas ou pour le trouver? ^^

[Exquise Sensation]

Autre question c'est possible de faire l'exo en supposant seulement la Z-extensivité?

/* Même si passer de Z à Q je doute que ce soit possible. */

[Nightmare]

Plusieurs choses :

1) J'allais te dire, mais je vois que tu as édité, qu'il n'est en fait pas du tout question de Q ou R-linéarité. Il est juste question d'endomorphismes (de groupe) de Q et R. Au pire, on peut parler de fonction Q-additive et R-additive.

2) Ce que tu as fait ne me convient pas finalement. Comment conclus-tu que f(y+z)=f(y)+f(z)? Tu passes à la limite, mais x et y étant réels, il faudrait avoir démontré que ta fonction est continue sur R tout entier.

[Exquise Sensation]

Plusieurs choses :

1) J'allais te dire, mais je vois que tu as édité, qu'il n'est en fait pas du tout question de Q ou R-linéarité. Il est juste question d'endomorphismes (de groupe) de Q et R. Au pire, on peut parler de fonction Q-additive et R-additive.

2) Ce que tu as fait ne me convient pas finalement. Comment conclus-tu que f(y+z)=f(y)+f(z)? Tu passes à la limite, mais x et y étant réels, il faudrait avoir démontré que ta fonction est continue sur R tout entier.

1) Question d'endomorphisme= question de linéarité non? ^ Enfin bref de toute façon on est d'accord !

2) Soit y et z réels quelconques,
en prenant (yn) et (zn) deux suites de Q qui convergent resp. vers y et z réels on a:
d'une part: pour tout n f(yn+zn)=f(yn)+f(zn),
comme f est continue en tout rationnel je pense pouvoir passer à la limite de chaque coté et dire que
lim f(yn+zn)= f( lim (yn+zn) ) = f(y+z)
pour la même raison lim (f(yn)+f(zn))= f(y)+f(z)

donc f(y+z)=f(y)+f(z)?

[bentaarito]

j'ai lu le topic, et je veux bien comprendre pourquoi la continuité sur Q ne suffit pas, vu que les suites qu'il a prises sont dans Q. :hum:

[Nightmare]

f continue en un rationnel a se traduit séquentiellement par :

Pour toute suite (de réels quelconques) (xn) qui converge vers a, f(xn) converge vers f(a).

Nous, ce qu'on voudrait, c'est que pour toute suite de rationnel (xn) qui converge vers a réel, f(xn) converge vers f(a). Ca c'est la continuité en a réel quelconque.

[Exquise Sensation]

Pour le faire en 1 coup?:

Par récurrence on peut montrer que soit (zn) le terme général d'une série de rationnels dont la somme converge vers une valeur finie alors f(somme sur N des zn)=somme sur N des f(zn).[EDIT: en fait ici il me faut la continuité de f sur Q pour passer de la somme de i=1 à n jusqu'à la somme sur N tout entier donc ça me fait toujours une démo en 2 temps =( OU bien la récurrence me permet d'avoir ce résultat et d'être sur en même temps que la somme des f(zn) converge..?]

donc pour les deux séries de "engendrées" par zn et z'n qui converge on a

f(somme sur N des zn + somme sur N des z'n)=somme sur N des f(zn) + somme sur N des f(z'n)


Et on peut écrire tous réels comme la somme dénombrable de ses décimales qui sont rationnelles d'où le résultat?

Ca paraît cohérent mon histoire de somme infinie qui sort de la fonction par récurrence lol?

[Exquise Sensation]

f continue en un rationnel a se traduit séquentiellement par :

Pour toute suite (de réels quelconques) (xn) qui converge vers a, f(xn) converge vers f(a).

Nous, ce qu'on voudrait, c'est que pour toute suite de rationnel (xn) qui converge vers a réel, f(xn) converge vers f(a). Ca c'est la continuité en a réel quelconque.

Justement je zappe l'intermédiaire où je montrais que f est continue sur R( que j'avais écrite avant) pour prouver directement ma relation.

[Nightmare]

Bon, désolé du temps de réponse, j'ai réfléchis mûrement au problème pendant ma clope, voici ma conclusion :

f(x)=x si x rationnel, 0 sinon.

est :

1) Continue en 0
2) "Q-extensible"
3) mais pas "R-extensible".

[bentaarito]

j'aime :zen: (fallait penser à ajouter ce bouton :ptdr: )

[Exquise Sensation]

Bon, désolé du temps de réponse, j'ai réfléchis mûrement au problème pendant ma clope, voici ma conclusion :

f(x)=x si x rationnel, 0 sinon.

est :

1) Continue en 0
2) "Q-extensible"
3) mais pas "R-extensible".

Bon, désolé du temps de réponse, j'ai réfléchis mûrement au problème pendant ma clope, voici ma conclusion :

f(x)=x si x rationnel, 0 sinon.

est :

1) Continue en 0
2) "Q-extensible"
3) mais pas "R-extensible".

Joli!

Merci en fait il s'agit de l'énoncé erroné d'un exo que j'avais résolu il y a 10 mois. : p
Mon erreur est que je peux pas dire que lim[f(xn+a)]=f(x+a) et prouver comme ça que f est continue en x car cela revient à vendre la peau de l'ours avant de l'avoir tué!
J'allais m'entêter à vouloir le résoudre et à être sur de moi longtemps Merci ^^ !

Je vais poster l'énoncé correct dont j'ai retrouvé la solution !