Exercice d'oral : determinant

[Louise2607]

Voici un exercice d'oral, que je juge assez compliqué car très théorique:
Déterminer toutes les matrices réelle A=a(i,j) d'ordre n telles que:
det A = produit(i=1..n , somme(j=1..n , valeur absolue(a(i,j))))

Faute de pouvoir raisonner de manière générale, j'ai essayé des cas particuliers
- Matrice diagonale : Le produit des coéfficients diagonaux est positif
- Matrice non inversible : Au moins une ligne est nulle
- Matrice triangulaire : j'obtiens une égalité peu concluante
- Avec n=2 , j'obtiens aussi des résultats mais qui m'aident peu pour le cas général

Donc confronté au cas général je bloque..., il semblerait que la formule du déterminant avec les permutations semble être celle à utiliser, mais je ne vois comment aboutir...

Merci pour votre aide

[yos]

La somme en question dépasse largement det(A) sauf cas très particulier.

[Louise2607]

Bien oui, avec des cas particuliers, on trouve des matrices qui conviennent comme je l'ai précisé. J'ai un problème pour le cas général, et surtout pour simplifié l'équation obtenue en développant le déterminant avec la formule des permutations...

[yos]

|det A|

Si l'inégalité est une égalité, alors les termes en trop du développement du second membre valent 0. il s'agit des termes obtenus en faisant un produit de coefficients dont deux au moins sont sur une même colonne.
Soit on a une colonne de 0, auquel cas le déterminant est nul et l'égalité recherchée signifie que l'un des facteurs du second membre est nul : ligne de 0. Réciproquement, une matrice avec une ligne de 0 est OK.
Sinon, il faut qu'aucune colonne n'ait deux éléments non nuls. Ce qui est encore très contraignant.
Je te laisse creuser;

[Louise2607]

Merci Yos pour ces lumières !! je vais tenter d'approfondir...