J'ai un petit exo dont je bloque à la seconde question...
Exercice : B : T={(x,y) I² , x
(x,y) -> B(x,y) = f(x) - f(y)
Avec a un point fixé de T
1) Montrer que f est strictement croissante (r. décroissante) sur I si et seulement si B est strictement négative (r. positive) sur T
2) Donner la raison pour laquelle B ne s'annule pas sur T. Nous supposerons dans la suite que (par exemple) B(a) > o
3) Soit X = (x,y) un autre point de T. Posons :
C : [0;1] -> R
t -> B((1-t)a + tX
Montrer que C est une application continue
4) Donner la raison pour laquelle c(1) > 0
5) Conclure. (L'objectif de l'exercice est de démontrer qu'une fonction injective et continue f sur I (un intervalle) de R est strictement monotone)
Place à mes recherches :
1) J'ai traduit la question sous forme d'équivalence :
f croissante <---> B strictement négative
f décroissante <---> B strictement positive
Mais j'ai un élément qui me trouble, l'implication réciproque est facile je trouve à prouver mais l'autre implication donc --->, une chose m'embête.
On suppose que f est croissante, alors x
2) Je vois pas du tout la raison en fait, car si B(x,y) est nul je vois pas pourquoi ce n'est pas possible en fait... :/
3) Je sais qu'une application est continue sur un intervalle [a,b] si elle est continue sur ]a,b[ donc continue à droite de a et à gauche de b. Je me trompe pas ?
4) Je ne sais pas comment ensuite faire.
