Fonction holomorphes, développement en série entière, stabilité d'un filtre. [licence ? ]

[Anonyme]

Bonjour,

Le Problème :

Soit le filtre récursif à réponse impulsionelle infinie suivant :

s(n) = e(n)/f0 - s(n-1)*f1/f0 - s(n-2)*f2/f0

ou e(n) est l'entrée (une suite quelconque) et s(n) est la sortie.

s(0) = s(1) = 0.

le filtre vérifie les deux propriétés suivantes :

1) f0²+f1²+f1²=1

autrement dit le filtre est normalisé.

2) f0*z² + f1*z + f2 = 0 possède deux racines à l'intérieur du
cercle unité (strictement)

autrement dit le filtre est stable. (si la suite {e(n)} est bornée,
alors la suite {s(n)} le sera aussi).


Comme le filtre est stable, il existe M>0 tel que :

si pour tout m |e(m)|<=A avec A > 0, alors

pour tout n, |s(n)| <= M * A


Je cherche une bonne valeur de M. (la plus petite possible).


Mes Recherches :

J'ai pensé à cela :

la fonction de transfert du filter est :

H(z) = 1/(f0+f1*z^(-1)+f2*z^(-2))

Je la décompose en éléments simples :

H(z) = b0/(a0-z^(-1))+ b1/(a1-z^(-1))

Je décompose les deux fractions rationelles élémentaires en séries
entières. Je les additionnes pour trouver la décomposition en série
entière simple de H(z) :

H(z) = somme( h(k)z^(-k))

et je prends comme valeur de M : somme(|h(k)|)

Est ce que c'est juste ? Ai-je une chance de trouver une formule
analitique simple pour h(k) ? et pour M ?

en espérant avoir été suffisament clair,

Alexandre.

[Anonyme]

Bon ben j'ai ma réponse : ça marche, et même trés bien !

si f0*z² + f1*z + f2 = 0 admets deux solutions à l'intérieur du cercle
unité, notons les a et b.

on a alors a+b = -f1/f0 et ab = f2/f0

et f0*H(z) = a/(a-b)/(1-az^(-1)) - b/(a-b)/(1-bz^(-1))

Ces deux fractions rationelles élémentaires sont décomposables en séries
entières sur le cercle unité et :

f0*H(z) = somme( (a^(k+1) - b^(k+1))/(a-b) * z^(-k))

Ce qui peut se vérifier en combinant l'équation :

s(n) = e(n)/f0 - s(n-1)*f1/f0 - s(n-2)*f2/f0

s(n) = e(n)/f0 + (a+b)*s(n-1) - ab*s(n-2)
s(n) = (a-b)/(a-b)/f0*e(n) + (a²-b²)/(a-b) * s(n-1) - ab * s(n-2)
s(n) = (a-b)/(a-b)/f0*e(n) + (a²-b²)/(a-b)/f0 * e(n-1) + (a^3-b^3)/(a-b)
*s(n-2) - (a+b)*ab*s(n-3)

etc...

Finalement, un majorant est :

M = somme( (a^(k+1) - b^(k+1))/(a-b), k=0..infini) = 1/(1-a)/(1-b) =
(1+f1/f0+f2/f0)^(-1)

Alexandre, toujours étonné !

[Anonyme]

> Finalement, un majorant est :
>
> M = somme( (a^(k+1) - b^(k+1))/(a-b), k=0..infini) = 1/(1-a)/(1-b) =
> (1+f1/f0+f2/f0)^(-1)

Euh, petite correction :

M = somme( |a^(k+1) - b^(k+1)|/|a-b|, k=0..infini) <= 1/(1-|a|)/(1-|b|).