Exercice de calcul de l'intégrale de Gauss

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PythagoreSauvage
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Exercice de calcul de l'intégrale de Gauss

par PythagoreSauvage » 27 Jan 2022, 01:58

Bonsoir à toutes/tous,

voilà un exercice dont le but est de calculer l'intégrale de Gauss bien connue , et dont je ne saisis pas un passage de la correction.

On considère la fonction définie par

On pose

On montre en premier lieu que la fonction est bien définie, continue (d'après le théorème de continuité des intégrales à paramètres) sur puis dans la foulée que et que

Puis on montre que F est dérivable sur (d'après le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres) avec :



On vérifie ensuite aisément quepour tout est solution de l'équation différentielle linéaire est l'intégrale de Gauss recherchée.

On demande de résoudre cette équation différentielle. On considère une solution de l'équation homogène associée , on trouve facilement avec une constante à déterminer.

Pour déterminer une solution particulière de cette équation on emploie la méthode de variation de la constante. On considère que est sous la forme
On en déduit et donc, puisque doit être solution de soit finalement Et là on nous sort

Je ne comprends pas comment on aboutit à ça, enfin je comprends qu'on "passe à l'intégrale" des deux côtés, de sorte qu'on a mais comment peut être égal à ? Je veux dire ne vaut pas obligatoirement 0 pas vrai ?

Après quoi on rassemble les solution et on dit que ou plutôt et, par le changement de variable on a que

Ainsi
On détermine alors facilement en on trouve et en faisant tendre vers , c'est à dire en définitive

A part le passage de la variation de la constante tout me semble compréhensible, si quelqu'un pouvait m'éclairer sur ce point

D'avance merci



PythagoreSauvage
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Re: Exercice de calcul de l'intégrale de Gauss

par PythagoreSauvage » 27 Jan 2022, 02:00

C'est un joli exercice d'ailleurs, soit dit en passant

Doraki
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Re: Exercice de calcul de l'intégrale de Gauss

par Doraki » 27 Jan 2022, 16:52

Pour obtenir une solution particulière Fp tu peux prendre C(0) comme tu veux il n'y a pas de contrainte.
Chaque valeur de C(0) donne une solution particulière différente, et c'est normal puisque les solutions diffèrent par un certain multiple de exp(x).
Si tu changes de C(0) ça décalera la valeur de C déterminée par la suite pour compenser et au final retrouver le même résultat.

Donc il n'y a pas de problème à choisir C(0)=0, ni à choisir C(0)=17 ou pi/2 ou ce que tu veux si tu y tiens.

tournesol
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Re: Exercice de calcul de l'intégrale de Gauss

par tournesol » 27 Jan 2022, 19:05

En théorie: solution genérale=solution pour égal 0 + une solution particulière QUELCONQUE mais fixée .
Et c'est tout .

PythagoreSauvage
Membre Naturel
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Re: Exercice de calcul de l'intégrale de Gauss

par PythagoreSauvage » 27 Jan 2022, 22:15

Ah je comprends !

Parfait dans ce cas, merci beaucoup

 

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