Bonsoir à toutes/tous,
voilà un exercice dont le but est de calculer l'intégrale de Gauss bien connue , et dont je ne saisis pas un passage de la correction.
On considère la fonction définie par
On pose
On montre en premier lieu que la fonction est bien définie, continue (d'après le théorème de continuité des intégrales à paramètres) sur puis dans la foulée que et que
Puis on montre que F est dérivable sur (d'après le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres) avec :
On vérifie ensuite aisément quepour tout est solution de l'équation différentielle linéaire où est l'intégrale de Gauss recherchée.
On demande de résoudre cette équation différentielle. On considère une solution de l'équation homogène associée , on trouve facilement avec une constante à déterminer.
Pour déterminer une solution particulière de cette équation on emploie la méthode de variation de la constante. On considère que est sous la forme
On en déduit et donc, puisque doit être solution de soit finalement Et là on nous sort
Je ne comprends pas comment on aboutit à ça, enfin je comprends qu'on "passe à l'intégrale" des deux côtés, de sorte qu'on a mais comment peut être égal à ? Je veux dire ne vaut pas obligatoirement 0 pas vrai ?
Après quoi on rassemble les solution et on dit que ou plutôt et, par le changement de variable on a que
Ainsi
On détermine alors facilement en on trouve et en faisant tendre vers , c'est à dire en définitive
A part le passage de la variation de la constante tout me semble compréhensible, si quelqu'un pouvait m'éclairer sur ce point
D'avance merci