Integrale de Gauss

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Mulan
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Integrale de Gauss

par Mulan » 31 Mar 2012, 12:12

Bonjour, merci de m'aider :

Soient f, g définies par :

f(x) = int e 0 à x de exp(-t²) dt

g(x) = int de 0 à 1 de [ exp(-x²(1+t²)) ] / ( 1 + t²) dt

1) Montrer que f et g sont de classe C1 sur R.

2) Dériver l'expression f(x)² + g(x)

3) Montrer que f² + g est une constante

4) En déduire la valeur de int de 0 à + inf de exp(-t²) t


Alors :

1) Je montre que t -> exp(-t²) est continue
et que t -> [ exp(-x²(1+t²)) ] / ( 1 + t²) est continue
et on peut du coup en déduire que f et g sont C1

2) Je bloque sur ce calcul qui me parait simple

3) Je pense par une intégration par parties.


Merci !!!!



ev85
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par ev85 » 31 Mar 2012, 12:25

Mulan a écrit:Bonjour, merci de m'aider :

Soient f, g définies par :

f(x) = int e 0 à x de exp(-t²) dt

g(x) = int de 0 à 1 de [ exp(-x²(1+t²)) ] / ( 1 + t²) dt

1) Montrer que f et g sont de classe C1 sur R.

2) Dériver l'expression f(x)² + g(x)

3) Montrer que f² + g est une constante

4) En déduire la valeur de int de 0 à + inf de exp(-t²) t


Alors :

1) Je montre que t -> exp(-t²) est continue
et que t -> [ exp(-x²(1+t²)) ] / ( 1 + t²) est continue
et on peut du coup en déduire que f et g sont C1

2) Je bloque sur ce calcul qui me parait simple

3) Je pense par une intégration par parties.


Merci !!!!

2/
Or et . Un changement de variable dans cette intégrale termine le job.

Mulan
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par Mulan » 31 Mar 2012, 13:11

ev85 a écrit:2/
Or et . Un changement de variable dans cette intégrale termine le job.


Ah oui merci beaucoup,

Après avoir montrer que f + g² est une constante j'ai que f(x) = g² + cte

ce qui me donne lim x-> + inf de f(x) = g(x) ² + cte

Mais après ca va tendre vers 0 non ?

ev85
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par ev85 » 31 Mar 2012, 13:29

Mulan a écrit:Ah oui merci beaucoup,

Après avoir montrer que f + g² est une constante j'ai que f(x) = g² + cte

ce qui me donne lim x-> + inf de f(x) = g(x) ² + cte

Mais après ca va tendre vers 0 non ?


Bon tu écris à peu près n'importe quoi. Relis-toi.
La constante, tu peux la calculer pour x=0, non ?

Mulan
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par Mulan » 31 Mar 2012, 13:36

ev85 a écrit:Bon tu écris à peu près n'importe quoi. Relis-toi.
La constante, tu peux la calculer pour x=0, non ?


Tu coup je ne comprend pas ce que vous voulez dire, pouvez vous developper un peu plus ?

Merci par avance

ev85
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par ev85 » 31 Mar 2012, 14:48

Mulan a écrit:Tu coup je ne comprend pas ce que vous voulez dire, pouvez vous developper un peu plus ?

Merci par avance

Donc tu ne t'es pas relu.

Calcule f(0) et g(0).

Mulan
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par Mulan » 31 Mar 2012, 15:00

ev85 a écrit:Donc tu ne t'es pas relu.

Calcule f(0) et g(0).


Donc ? Non je me suis relu mais je ne vois pas mes erreurs, on montre que f² + g est une constante pour tout x donc je fais pour tout x .

f0) = 0

g(0)=arctan(1) - arctan(0) = arctan(1)

ev85
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par ev85 » 31 Mar 2012, 15:10

Mulan a écrit:Donc ? Non je me suis relu mais je ne vois pas mes erreurs, on montre que f² + g est une constante pour tout x donc je fais pour tout x .

f0) = 0

g(0)=arctan(1) - arctan(0) = arctan(1)

Et pendant que tu y es, ?

Conclusion : ?

Mulan
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par Mulan » 31 Mar 2012, 19:01

ev85 a écrit:Et pendant que tu y es, ?

Conclusion : ?


En conclusion cela vaut une constante

Mais du coup je ne vois pas le lien avec int de 0 à +inf de exp(-t²) ?

ev85
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par ev85 » 31 Mar 2012, 20:17

Mulan a écrit:En conclusion cela vaut une constante

Mais du coup je ne vois pas le lien avec int de 0 à +inf de exp(-t²) ?


Tu fais tendre vers . Tu trouves d'une part, ...

et d'autre part...

 

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