Exercice d'Analyse

[lightone]

Bonjour, voici l'exercice que j'ai à faire :

Exercice 19. Le but de l’exercice est de montrer que si f et g sont deux fonctions
(R)-integrables sur [a, b], alors la fonction fg est (R)-integrable sur [a, b].
(1) Soit M ∈ R
+. Montrer que si u, ue, v, ve sont des fonctions en escalier telles
que 0 ≤ u ≤ ue ≤ M et 0 ≤ v ≤ ve ≤ M, alors
intégrale (sur a, b) (ue ve − uv) ≤ M intégrale (sur a, b) (ue-u) + intégrale sur (a, b de (ve-v)

(2) Deduire de (1) que si f, g : [a, b] → R sont (R)-integrables et positives, alors
fg est (R)-integrable. Plus precisement, montrer qu’on peut trouver des
suites approximantes (un, uen) et (vn, ven) pour f et g respectivement, telles
que (unvn, uenven) soit une suite approximante pour fg.

(3) D´emontrer le r´esultat souhait´e pour des fonctions f et g `a valeurs reelles, en
utilisant l’Exercice 5. (Commencer par exprimer f `a l’aide de f
+ := f ∨ 0 et
f− := f ∧ 0, et de meme pour g.)

(4) Demontrer le résultat souhaité pour des fonctions f et g `a valeurs complexes.

Je suis bloqué à la question 3. Je n'ai aucune piste, pouvez vous me donner un point de départ s'il vous plait?

[Robot]

La piste est d'utiliser l'exercice 5, que tu ne nous a pas présenté.

[lightone]

voici l'exo 5 :

. Montrer que si α1, β1, α2, β2 sont des nombres eels tels que α1 ≤ β1
et α2 ≤ β2, alors max(β1, β2) − max(α1, α2) ≤ (β1 − α1) + (β2 − α2) et min(β1, β2) −
min(α1, α2) ≤ (β1 − α1) + (β2 − α2). En d´eduire que si f et g sont deux fonctions
(R)-int´egrables sur [a, b], alors les fonctions f ∨ g et f ∧ g sont (R)-integrables.

[Robot]

Bah, le chemin est vachement balisé, non ?

[lightone]

c'est à dire?

[Robot]

Faut vraiment tout te dire ! Ne pourrais-tu pas avoir une étincelle d'initiative ?
Si tu développes, tu n'as que des produits de fonctions positives et intégrables Riemann d'après l'exercice 5.

Bon, j'ai pris en fait pour bien avoir une fonction positive, ce n'est pas la notation de l'énoncé.

[lightone]

d'accord je crois avoir compris, merci pour ton aide.