Exercice d'Algèbre L3 !!

[Elvis]

Bonsoir à tous,

Je suis confronté à un problème. Le voici :
Soit G un groupe. Soit H un sous-groupe distingué de G tel que |H|=2. Montrer que H est contenu dans le centre de G.
Merci d'avance pour votre aide, parce que je suis un peu largué !

[tize]

Bonjour Elvis,
Si |H|=2 cela veut dire que H={e,h}, e est dans le centre, que veut dire distingué ....

[yos]

H={1,h}
pour tout g, gH=Hg donc . Que choisis-tu?

[yos]

Bon, grillé! On peut pas gagner à tous les coups.
Tu m'as égaré avec tes discours politiques, Tize. J'y retourne : je comprends pas tout, il n'y a pas de formules.

[Elvis]

Soit G un groupe et H inclus dans G un sous-groupe.
Alors H est distingué si pour tout g app. à G et pour tout h app. à H on a :

g*h*g(^-1) app. à H

(avec * la loi de groupe sur G)

[Elvis]

Juste pour précision (comme je ne l'ai pas vu en cours).
Le centre d'un groupe est bien l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres ? ...

[Elvis]

Désolé Yos, mais je vais avoir du mal à répondre à ta question, puisque je n'ai pas compris ton raisonnement ... :we:

[yos]

Soit G un groupe et H inclus dans G un sous-groupe.
Alors H est distingué si pour tout g app. à G et pour tout h app. à H on a :

g*h*g(^-1) app. à H

mais dans H il n'y a que deux éléments!! Appelons-les e et .
Tu as donc pour tout g de G,
ou bien . Le premier cas est clairement impossible, donc c'est le second et donc gx=xg.

[Elvis]

Encore une questions stupide pour ce soir ...
Pourquoi le premier cas serait impossible ??

[yos]

On est dans un groupe :
ça ferait gx=g, x=e...

[Elvis]

Merci beaucoup pour ton aide et ta perspicacité à cette heure tardive !
Bonne nuit !

[trust]

Je crois mm que si H distingué, on a mm H = Z(G)

[yos]

Je crois mm que si H distingué, on a mm H = Z(G)

Essaie avec G commutatif.

[trust]

peut-être que G est d'ordre 2 et H = G :cry: okok, me suis gourré