Exercice algebre

[vnc456]

Bonjour à tous un exercice me pose problème. Voici l'énoncé

Soit f un endomorphisme de C^4 vérifiant f^3=0 mais f^2 != 0 Soit A sa matrice sur une base quelconque.
1) Quelle est l'unique valeur propre possible de f?

f(x)=V1*x avec x vecteur propre donc f^3(x)=V1^3 * x or par définition c'est égale à 0 donc v1=0 car x non nul

2)Montrer qu'il existe un vecteur y tel que la famille {y,f(y),f^2(y)} soit libre. En déduire les deux seules valeurs possibles du rang de f.

Aucune idée

merci d'avance.

[arnaud32]

tu sais que tu peux trouver x tel que f²(x) est non nul
que dire de ( x, f(x), f²(x) )?

[vnc456]

je ne vois pas oui il existe un x tq f^2(x) est non nul mais je peut pas en déduire que (x,f(x),f^2(x)) est libre

[vnc456]

sinon je reviens a la définition je dit que A(y) +Bf(y) + Cf^2(y)=0 donc Af(y)+Bf^2(y)=0 donc Af^2(y)=0 or f^2 != 0 pour y donc A vaut 0 et je fait pareil pour B et C mais je ne vois pas comment deduire les valeurs du rang?

[arnaud32]

si tu as une famille de 3 elts qui est libres qu'en deduis tu?

[vnc456]

heu je ne sait pas si c'était dans R3 cela serait une base sinon je ne vois rien d'autre

[arnaud32]

peux tu minorer et majorer le rang?

[vnc456]

oui a mon avis c'est ce qui faut faire mais je ne sait pas comment faire

[arnaud32]

f(y) et f²(y) sont dans Im(f) et ils sont independants ...
f²(y) est non nul et dans ker(f) ....

[vnc456]

Comment sait-on que f^2 est dans Imf? et le fait que f^2 soit non nul je peut dire qu'il existe un vecteur qnon nul qui appartient a kerf^2 est ce que je peut en deduire que kerf n'est pas réduit à l'élément nul?