Etude d'un endomorphisme

[sdzfermat]

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre cette question :
On note E le R-ev formé des applications continuent sur R à valeurs réelles. On désigne par A l'application qui à f appartenant à E on associe la fonction A(f) : R -> R défnie par :
A(f)(x) = integrale de 0 à x de (x-t)*f(t)dt
Il faut que je montre que A(f) est de classe C1 sur R puis calculer sa dérivée. Puis, en déduire que A(f) est de classe C2 sur R et calculer A(f)''.

On nous donne une indication on nous disant que l'on peut décomposer l'intégrale. Ca j'ai trouvé, j'ai décomposé A(f)(x) = x * intégrale de0 à x de f(t)dt - intégrale de 0 à x de t*f(t) dt.

[mathelot]

on note la primitive de f qui s'annule en x=0



En développant , calcule A(f)(x); puis après développement, intègre par parties

On obtient alors une expression dérivable (utiliser F)

[sdzfermat]

Oui, merci !
J'ai ensuite montré que A est un endomorphisme de E, mais je n'arrive pas à montrer que A est / ou n'est pas injective. Je pense qu'il faut utiliser le noyau, mais après...

[mathelot]

re,
après calculs, on trouve



Supposons (identiquement nulle) . Que peut on en déduire pour f ?

NB: Concernant le noyau, le "zéro" est la fonction identiquement nulle.

[mathelot]

A(f) est deux fois continuement dérivable et
A(f)''=f
A est injective car
A est un isomorphisme de sur

reste à voir si c'est un homéo ou un difféo-morphisme

[mathelot]

ça m'étonnerait que A soit un difféomorphisme
(on sait que C^0(R) et C^2(R) sont des e.v.t métrisables
avec la norme de convergence uniforme sur tout compact)

[zygomatique]

il suffit de considérer la fonction valeur absolue ....

[mathelot]

il suffit de considérer la fonction valeur absolue ....

en tant que bijection, je pense pas qu'elle puisse être bi-continue, de C0(R) sur C2(R)

[zygomatique]

c'était pour dire que A n'est pas un difféomorphisme ...