Etude de continuité de fonctions

[Georges10]

Bonsoir à tous, vous allez bien j'espère.
Voici un exercice que je suis en train de traiter, mais je bloque à la question 3.

Je veux des indications. Et aussi , est ce qu'à priori on peut avoir une idée du résultat ?
Merci d'avance !

[LB2]

Bonjour, tu peux commencer par remarquer que

[Ben314]

Salut,
Perso, comme première "indic", j'aurais plutôt dit que, lorsque , on a qui est [très] proche de lorsque est [très] grand (c'est vrai que c'est à peu prés la même indic. que LB2, mais je pense que c'est plus utile dans ce sens là).
Ensuite, comme deuxième indic., je dirais bien d'utiliser le fait que Q est dense dans R et que R-Q (R privé de Q) est lui aussi dense dans R.
Pour le 2), combien vaut (par exemple) f(1/2) ? Et quand on prend un irrationnel x très proche de 1/2 (il en existe), combien vaut f(x) ? Conclusion.

Enfin, si tu veut les résultat, ben pour le 1), la réponse est donnée par l'énoncé, pour le 2), la réponse est que f n'est continue en aucun point de et pour le 3) la réponse est que f est continue en tout point de .

[Georges10]

Merci pour votre réponse.
Mais pour le 3. Sur quoi vous vous basez pour dire que f est continue sur I privé Q ?

[Georges10]

Ben314 , j'aimerais savoir en quoi le fait que Q soit dense dans R et R-Q soit dense dans R pourrait se révéler utiles ? Je ne vois pas trop.
Merci !

[Ben314]

Merci pour votre réponse.
Mais pour le 3. Sur quoi vous vous basez pour dire que f est continue sur I privé Q ?

Si on prend un irrationnel de on a .
- Si on prend maintenant un irrationnel proche de , on a qui est proche de vu que la fonction est continue.
- Et si on prend un rationnel proche de , alors qui, si est suffisamment grand est proche de lui même proche de . Donc le seul truc, c'est de voir si on peut trouver un (petit) intervalle autour de tel que tout les rationnels de cet intervalle aient un dénominateur suffisamment grand. Or, si on fixe un entier N, dans l'intervalle il n'y a qu'un nombre fini de rationnels avec un dénominateur inférieur à N (et ne fait évidement pas parti de cet ensemble fini vu qu'il est irrationnel). Donc on peut trouver un petit intervalle autour de qui ne contient que des rationnels à dénominateur supérieur à N et ça termine la démonstration.

[Ben314]

Ben314 , j'aimerais savoir en quoi le fait que Q soit dense dans R et R-Q soit dense dans R pourrait se révéler utiles ? Je ne vois pas trop.
Merci !

On peut effectivement se passer du fait que Q est dense dans R. Par contre le fait que R-Q soit dense dans R permet de voir immédiatement pourquoi la fonction f n'est continue en aucun point rationnels non nul :
Si on a . Or, comme R-Q est dense dans R, on peut trouver une suite d'irrationnels qui tend vers . Et comme ce sont des irrationnels, on a qui tend vers lorsque tend vers l'infini (du fait de la continuité de ). Et comme cette limite des est différente de (si est non nul), ça montre que f n'est pas continue en .

En fait, en réfléchissant un peu plus, on pourrait éventuellement se passer de la densité de R-Q en fabriquant une suite de rationnels (sous forme irréductible) qui tende vers avec qui tend vers l'infini. On aurait alors de nouveau . Sauf que je trouve que c'est un peu plus calculatoire (pour fabriquer la suite) qu'en utilisant la densité.

[Georges10]

Vraiment merci beaucoup pour votre aide, j'ai compris.
Merci !