Espaces métriques

par **minidiane** » 01 Déc 2006, 14:53

Bonjour tout le monde je n'arrive pas à faire certaines démonstrations pouvez-vous m'aider?

1) Soit E un evn et soit A un sev de E. Montrer que: A ouvert implique A=E
2) Soit E un evn. Soit K un compact de E et F un fermé de E. Montrer que:

i) K+F={x+y: x appartient à K, y appartient à F} est fermé.
ii) F compact implique K+F compacte.

Merci de bien vouloir m'aider.

par **tize** » 01 Déc 2006, 15:00

Bonjour,

pour la 1) si A est un ouvert de E alors il contient une boule ouverte de E :

et puisque A est un ev alors

(boule agrandie) est aussi dans A pour tout entier n, or

donc A=E.

par **yos** » 01 Déc 2006, 15:12

Bonjour.
Pour (i), on prend une suite convergente

de K+F. On peut extraire de

une suite convergente

et on raisonne facilement avec ça.
Pour (ii), si on n'a pas l'hypothèse "dimension finie", c'est pareil : on prend des suites.

par **tize** » 01 Déc 2006, 15:13

Pour 2) on peut utiliser les sous suites convergentes du compact K, il me semble...

[edit] Grillé par Yos :euh:

par **yos** » 01 Déc 2006, 15:24

tize a écrit: Grillé par Yos :euh:

Désolé!
Qu'est-ce que je ne ferais pas pour me distraire de mes copies!?

par **minidiane** » 01 Déc 2006, 15:36

Merci pour votre aide.

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