Espaces métriques

[minidiane]

Bonjour je n'arrive pas à résoudre ces deux exercices pouvez vous maider? Merci.

Exercice1
On considère la suite de fonctions fn:[0,2] à valeur dans R définies par fn(x)=x^n/(1+x^n). Calculer lim quand n tend vers l'infinie de fn(x). Montrer que la convergence n'est pas uniforme sur [0,2] et qu'elle est uniforme sur les parties [0,a] et [b,2] avec 00 et soient a et b tels que 0|intégrale de 0 à 2 de fn(x)dx-1|<= intégrale de 0 à a de |fn(x)|dx+intégrale de b à 2 de |fn(x)-1|dx+epsilon/2.
En déduire que lim quand n tend vers l'infini de l'intégrale de 0 à 2 de fn(x)dx=1.

Exercice2
Soit (E,d) un espace métrique. Soit (xn) une suite de Cauchy dans E. Montrer que la suite xn est bornée, c'est-à-dire qu'il existe y appartenant à E et r>0 tels que xn appartient à la boule ouverte de centre y et de rayon r pour tout n appartenant à N.

[fahr451]

Pour le 1 qu as tu réussi à faire ? Pour le 2 écis donc la définition de suite de cauchy avec epsilon = 1 et fixe l'un des deux indices.

[minidiane]

Pour le 1 je n'ai rien réusis pour l'instant je pense que fn converge vers 0 mais je n'en suis pas sur et du coup je ne peux pas faire la suite.
J'ai vraiment besoin d'aide.
Merci pour le 2 je vais essayer ce que tu m'as conseiller.
Sa me donne donc quelque soit epsilon=1 il existe N quelque soit p et q appartenant à N (p>N et q>N implique d(up,uq)>epsilon=1
et là je dois fixé p par exemple, c'est bien sa?

[fahr451]

j'ai le sentiment d 'avoir déjà vu cet exo posé ici et résolu (pas par moi)...
limite simple :
on fixe x on regarde la limite qd n tend vers + infini de fn(x) ça devrait aller non?
x<1 limite = 0 , x = 1 limite = 1/2 ,x>1 limite = 1

chaque fn est continue si la limite était uniforme la limite f serait continue or elle ne l'est pas ( en 1)

[minidiane]

A oui je comprend. Merci pour ton aide. Mais après pour monttrer qu'elle est uniforme sur [0,a] et [b,2] je ne vois pas trop comment faire.

[fahr451]

la fonction h(u) = u/(1+u) croit
et fn(x) = h(x^n)
pour 0
sur [b,2] 0=< 1-fn(x) =<1-fn(b) pour la même raison et idem le sup tend vers 0

[minidiane]

D'accord je commence à comprendre.
Par contre je ne sais pas du tout comment faire la suite.
Il faut peut-être utiliser la relation de Chasles.
Mais je n'arrive pas à trouver.

[minidiane]

J'ai intégrale de 0 à a de fn(x) dx+intégrale de a à b de fn(x) dx + intégrale de fn(x) -1 dx.
Et la je suis bloqué je ne sais pas ce que je dois faire.

[minidiane]

Personne ne peut m'aider encore un peu?

[fahr451]

en notant A ton expression

A = l intégrale de o à a de f n + intégrale de a à b de fn + intégrale de b à 2 de (fn -1) + (1-b) l on utilise l 'inégalité triangulaire on fait rentrer les valeurs absolues ds les intégrales
pour l 'intégrale de a à b on utilise fn =< 1

[minidiane]

Pourquoi on rajoute 1-b pour l'intégrale de b à 2?

[fahr451]

car - 1 = - intégrale de b à 2 de 1dt (qui va aller avec celle de fn) +1-b

[minidiane]

J'ai encore un peu de mal à comprendre peux tu me réexpliquer encore une fois, stp?

[fahr451]

bon je reprends tout


je vais scinder

l 'intégrale de fn je la coupe en 3

de O à a d e a à b et de b à 2 (j appelle A , B , C ces intégrale)
ok ?

[minidiane]

ok sa je comprend

[fahr451]

bon il y a le - 1

- 1 = intégrale de 1 à 2 de -1 ok ?

[minidiane]

C'est sa que je ne comprends pas trop

[fahr451]

ben que vaut l 'intégrale d e la constante -1 entre 1 et 2 ?

[minidiane]

Elle vaut -1, je crois que je commence à comprendre.

[fahr451]

bon voila et cette intégrale je la coupe en 2

de 1 à b (elle fait (1-b) ) + intégrale de b à 2 de -1 (que je ne calcule pas et que j'appelle D)


on a donc I A+B + C + 1-b +D l et je regroupe C et D sous une même intégrale