Topologie dans des espaces sans metriques.

[zebullon]

Bonjour

Je suis toujours dans mon livre de topo, et la premiere partie s'occupe de definir la convergence vers x de la facon suivante (on a pas de metrique).

N(x) a collection of subsets of X (Neighborhood(x))
A sequence (x1,x2,...) in X is said to converge w.r.t N(x) if
for all N in N(x) there exists n0 such that n>n0 implies xn belong to N.


1/ Dans X , j'ai une sequence, est ce que je peux prendre des points de cette sequence au pif ?
Par ex la sequence dans X j'ai entre autre: 1 1/2 1/4 1/8 1/16......
Quand je m'interesse a la convergende d'une sequence dans X, rien ne m'interdit de sauter 1 terme sur 5 par rapport a la jolie sequence que j'ai decrite, quand je prends ma sequence (x1,x2...) ?

2/Apres avoir cogiter , ce que je tire intuitivement de cette definition c'est que pour tout les sous ensembles dans ma collection de voisin de x N(x), je trouverai un indice dans la sequence a partir duquel toute la queue de la sequence appartiendra a mon sous ensemble... correct ?

Desole si les questions sont pas claires , je peux preciser plus.

[ffpower]

Si tu veux prouver qu'une suite converge, tu n'as pas le droit de sauter des termes de la suite non..(bon, t'as le droit de sauter un nombre fini de termes si tu veux)
par exemple si on regarde (-1)^n et qu'on regarde qu'un terme sur 2 on pourrait dire qu'elle converge vers 1..

Ton 2) est correct oui..

[arnaud32]

1/ tu ne peux pas extraire une suite , c'est toute la suite a partir d'un certain rang qui doite etre dans la voisinage.

2/la definition te dit tres exactement que pour tout vasinage de x il existe un rang a partir duquel la suite evolue dans ce voisinage.

[zebullon]

Si tu veux prouver qu'une suite converge, tu n'as pas le droit de sauter des termes de la suite non..(bon, t'as le droit de sauter un nombre fini de termes si tu veux)
par exemple si on regarde (-1)^n et qu'on regarde qu'un terme sur 2 on pourrait dire qu'elle converge vers 1..

Ton 2) est correct oui..

Excellent ton contre-exemple.
Merci aussi a l'autre reponse.

Question subsidiaire par rapport a une sequence de taille infinie.
Ex: X = R et je m'interesse a la converge dans X de la sequence { 1/(2^n) } vers x=0
Les sous ensembles qui composent le voisinage de x doivent aussi etre de tailles infinis non ?
Je dis ca, car la def dit que pour tout les n au dela d'un n0 les termes de la sequence sont tous dans chaque subset N de mon voisinage, il y'en a un nombre infinis, donc chaque subset N doit contenir un nombre de termes infinis.
Non ?

Merci.

[arnaud32]

dans le cas de R et de la topologie usuelle, les voisinages continent un intervalle ouvert centre sur x, ils sont donc tous infinis

dans le cas general ce n'est pas forcement le cas (ex Z)

[zebullon]

Ok, mais dans le passage que j'ai quote au depart, l'auteur parle de convergence dans des espaces qu'il appelle neighborhood space, qui ne sont pas des espaces topologiques.

[arnaud32]

ce que te dit ton livre c'est que si tu donnes une collection N(x) d'ensembles contenant tous x et que tu appeles voisinage de x, converger vers x suivant N(x) veut dire que pour tout element N de la collection N(x) la suite evolue dans N a partir d'un certain rang

la donnee de N(x) te definit en quelque sorte une topologie locale en x

[Doraki]

Dans le cas de R,
usuellement une partie N de R est un voisinage de x <=> N contient un intervalle ]a ; b[ qui contient x.

Mais rien ne t'interdis d'avoir d'autres ensembles de voisinages, et alors là peut-être que ta suite ne convergera pas vers 0.

[zebullon]

Oki.
C'est plus clair, merci a tous.