Espaces métriques

par **Clise** » 19 Mai 2008, 22:54

Bonsoir,

Voila, lors d'un exo, j'ai à montrer que :

Soit (E,d1) et (F,d2) deux espaces métriques avec F complet et X un sous ensemble dense de E. Soit une application g continue de E dans FxF dont l'image réciproque est D. Il faut que je démontre que D est un fermé de E contenant X.

Avez vous une idée de comment procéder ?

Merci.

par **yos** » 19 Mai 2008, 23:00

Bonsoir.
Ce doit être faux sans autre hypothèse sur D.

par **Clise** » 19 Mai 2008, 23:02

Ben tout ce que je sais c'est que D est l'image réciproque de g par FxF :$
Donc D est inclus dans E, jusque la ça va, mais comment montrer que c'est un fermé ?

par **yos** » 19 Mai 2008, 23:14

Je voulais dire sur X : le fait qu'il soit dense dans E est trop vague.
Sinon l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé.

par **Clise** » 19 Mai 2008, 23:21

Ben dans ce cas j'ai la réponse non ?

Puisque un espace complet est compact (donc fermé), F est fermé donc FxF aussi donc comme l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé je peux en déduire que D est fermé.

Ca marche ou suis je vraiment a coté de la plaque ?

par **legeniedesalpages** » 20 Mai 2008, 11:18

Clise a écrit:Ben dans ce cas j'ai la réponse non ?

Puisque un espace complet est compact (donc fermé), F est fermé donc FxF aussi donc comme l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé je peux en déduire que D est fermé.

Ca marche ou suis je vraiment a coté de la plaque ?

Salut,

IR est complet mais pas compact.

par **yos** » 20 Mai 2008, 12:51

Compact entraîne complet qui entraîne fermé (réciproques fausses).

par **mathelot** » 20 Mai 2008, 13:07

yos a écrit:Compact entraîne complet

Qu'en est-il de

? Il me semble
qu'il est métrique compact, non complet.

par **legeniedesalpages** » 20 Mai 2008, 13:42

mathelot a écrit:Qu'en est-il de ? Il me semble
qu'il est métrique compact, non complet.

n'est même pas fermé, donc encore moins compact.

par **mathelot** » 20 Mai 2008, 14:29

legeniedesalpages a écrit: n'est même pas fermé, donc encore moins compact.

C'est un fermé, pour la topologie induite, puisque c'est l'espace tout entier.
Sur cet espace, les ouverts sont des intersections d'ouverts de

à la fois avec

] et avec

. Un ouvert est constitué d'une suite finie ou dénombrable de rationnels, appartenant à la trace d'un ouvert de

sur [0;1]. :doh:

par **ffpower** » 20 Mai 2008, 15:40

si tu prend la topo induite soit si tu veux,mais il est certainement pas compact

par **mathelot** » 20 Mai 2008, 17:00

ffpower a écrit:si tu prend la topo induite soit si tu veux,mais il est certainement pas compact

oui, d'accord.

par **yos** » 20 Mai 2008, 17:04

mathelot a écrit:Qu'en est-il de ? Il me semble
qu'il est métrique compact, non complet.

Compact sûrement pas. Un compact est fermé dans tout espace qui le contient. La topologie induite n'y change rien. Ce procédé de topologie induite te fait perdre la caractérisation des compacts par "fermé-borné".
Quant à l'implication compact entraîne complet, elle est immédiate : prends une suite de Cauchy, une valeur d'adhérence de cette suite...

par **abcd22** » 20 Mai 2008, 17:06

Bonsoir,

Clise a écrit:Soit une application g continue de E dans FxF dont l'image réciproque est D.

Je ne sais pas ce que les autres ont compris, mais cette phrase n'a pas de sens pour moi : on peut parler de l'image réciproque d'un sous-ensemble de FxF par g, mais pas de l'image réciproque de l'application g, et si on suppose qu'il faut comprendre « image réciproque de FxF », l'exercice n'a pas d'intérêt puisque c'est tout E...

par **ffpower** » 20 Mai 2008, 17:08

Je suis dac avec ABCDEFG, j avais juste la flemme de le dire^^

par **yos** » 20 Mai 2008, 17:13

J'imagine que c'est l'image réciproque d'un certain fermé de FXF. On n'était plus à ça près. On ne sait rien non plus sur D et vraisemblablement pas assez de choses sur X. A mon avis on n'en saura jamais davantage.

par **Clise** » 20 Mai 2008, 18:58

Bon, tout d'abord merci pour toutes vos réponses ...

Vous m'avez donné la réponse...

Je pense que le but de l'exercice était de trouver que l'image réciproque est E tout entier :$ , moi non plus j'y ai trouvé aucun intérêt.

Effectivement, il fallait comprendre image réciproque de FxF tout entier... et désolé si j'ai été peu claire ou imprécise.

Pour montrer que compact implique complet ça j'ai compris, mais comment montrer que complet (ou compact) implique fermé ?

par **yos** » 20 Mai 2008, 19:53

Si

est une suite d'un espace complet E qui converge vers L appartenant à l'adhérence de E, elle est de Cauchy dans E, donc converge dans E, donc

.

par **legeniedesalpages** » 20 Mai 2008, 20:44

mathelot a écrit:C'est un fermé, pour la topologie induite, puisque c'est l'espace tout entier.
Sur cet espace, les ouverts sont des intersections d'ouverts de à la fois avec ] et avec . Un ouvert est constitué d'une suite finie ou dénombrable de rationnels, appartenant à la trace d'un ouvert de sur [0;1]. :doh:

Je suis bien d'accord, mais pour que

muni de la topologie induite de celle

soit un espace compact, il faut et il suffit qu'il soit fermé dans

et ce n'est pas le cas (on peut montrer que

est dense dans

), donc

n'est pas compact pour la topologie induite de celle de

.

Edit: oups j'avais pas vu qu'une deuxième page est apparue :briques:

Espaces métriques

espaces métriques

Qui est en ligne