Espaces métriques

[minidiane]

Bonjour tout le monde voilà j'ai deux démonstrations à faire et je n'arrive pas à les faire pouvez-vous m'aider?

Démonstration1: N infini: E -> R
x1associe N infini= max |xi| (avec 1 <= i <= n)
Montrer que c'est une norme.


Démonstration2: Montrer que:
dans un espace métrique (E,d) toute sphère S(a,r) est un fermé.

[yos]

2)
est continue de E dans .
{r} est un fermé de .
...

[Gato]

1) regarde la définition d'une norme et et tu verras que ça n'est pas trop dur ; en particulier si le max d'un ensemble de nombres positifs est nul alors tous ces nombres sont nuls.

[minidiane]

Je n'arrive pas à démontrer la deuxième démonstration même avec votre aide yvos pouvez-vous encore m'aider un peu?
Merci pour votre aide yvos et gato.

[yos]

Il y a un théorème qui dit que l'image réciproque d'un fermé (resp. ouvert) par une application continue est un fermé (resp. ouvert).
Ici l'application continue c'est (la continuité est évidente : elle est même 1-lipschitzienne).
Le fermé c'est {r}.
La sphère de centre a, de rayon r est formée des x de E tels que f(x)=r. C'est ce qu'on appelle l'image réciproque de {r} par f.

[Gato]

Si tu n'as pas vu le théorème que te cite YOS tu peux t'en remettre à la définition d'un fermé : tu prouves que le complémentaire de la sphère est ouvert.
ici le complémentaire de la sphère est l'union (disjointe) de l'intérieur de la sphère et de son extérieur;comme la réunion de deux ouverts est un ouvert il te suffit de prouver que ces deux ensembles sont ouverts.Je te conseille de raisonner sur un cercle dans le plan.Tu devras utiliser l'inégalité triangulaire.



Soit A appartenant à l'intérieur de la sphère (l'intérieur I de la sphère étant les points M tels que OMr) :prouver qu'il existe une boule ouverte de centre B incluse dans J.

[abcd22]

Tu peux aussi prendre une suite convergente d'éléments de la sphère et montrer que la limite est encore dans la sphère.

[Gato]

En effet ; il faudrait savoir ce qui a été vu en topologie pour le moment.

[minidiane]

Merci pour votre aide c'est très gentil je vais voir tous ça demain car là je suis un peu fatigué et que je dois réviser un partiel sur les anneaux et corps.