Espaces metrique

par **nemesis** » 23 Mai 2007, 19:19

bonsoir a tous ;
pouvez vous m'aider a montrer les propositions suivantes
soit (E,d) un espace metrique et Xn et Yn deux suites et soit x,y deux points de E ;
montrer que :
--si Xn converge vers x equivalent a (d(Xn,x)) converge vers 0.
--Si Xn et Yn converge respectivement vers x et y montrer que (d(Xn,Yn))converge vers d(x,y).
merci d'avance

par **Daniel-Jackson** » 23 Mai 2007, 19:34

nemesis a écrit:bonsoir a tous ;
pouvez vous m'aider a montrer les propositions suivantes
soit (E,d) un espace metrique et Xn et Yn deux suites et soit x,y deux points de E ;
montrer que :
--si Xn converge vers x equivalent a (d(Xn,x)) converge vers 0.

Je trouve cette question un peu bizarre ............d'habitude c'est une définition, mais si tu veux un argument toplogique , y'a pas de problème :

En fait ça se fait avec un

Tu utilises la définition de la convergence : Xn converge vers x , si et ssi pour tout voisinage du point x , il existe un rang n0 à partir duquel on a Xn appartient au voisinage pour tout n plus grand n0 .

Soit donc donc une boule ouverte centrée en x de rayon

(qui est donc un voisinage de x) .
On sait qu'il existe n0 tel que :

c'est à dire

Et ça te traduit exactement le fait que la suite de réel positifs d(Xn, x) tends vers 0 .

nemesis a écrit:--Si Xn et Yn converge respectivement vers x et y montrer que (d(Xn,Yn))converge vers d(x,y).
merci d'avance

C'est exacetement pareil avec l'inégalité triangulaire ...

par **nemesis** » 23 Mai 2007, 19:37

merci pour ton aide
mais moi aussi ca me parrait tres intuitif j'ai fais qu'ecrire les chose et elles se suivent bien ,mais je voudrais une ecriture plus rigoureuse pour verifier :zen:

par **Daniel-Jackson** » 23 Mai 2007, 20:01

Tu l'as rédigée alors la deuxième question ?

par **nemesis** » 23 Mai 2007, 20:07

a quoi tu pense quand tu parle d'inegalite triangulaire ?

par **Daniel-Jackson** » 23 Mai 2007, 20:24

nemesis a écrit:a quoi tu pense quand tu parle d'inegalite triangulaire ?

oui enfin non pas exactement je raconte des betise par fois :marteau: quoi que non cette fois ci

(inégalité trinagulaire 2 fois )

Donc

Et inversement

d'où

Le deuxième membre tendant vers 0....

J'ai rédigé long mais ça peut se tenir en 1 ligne . Mieux vaut mettre des inégalités inférieures larges mais je ne sais plus comment on fait en latex

par **nemesis** » 23 Mai 2007, 20:34

ok c'est bon pour les inegalite larges en latex utilise \le et \ge

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