R - espace vectoriel

par **barbu23** » 21 Déc 2009, 19:14

Par exemple : :happy3:
Soit

un application linéaire de l'espace vectoriel

de dimension

vers l'espace vectoriel

de dimension

de bases respectives :

et

definie par :

Soit

le sous espace vectoriel.
Domment une base d'sous espace vectoriel

Determiner l'isomorphisme :

Merci d'avance ! :happy3:
P.S : Je ne sais plus comment proceder, merci de m'aider !

par **Arkhnor** » 21 Déc 2009, 19:24

Bonsoir.

Je ne comprends pas trop ton énoncé, le même nom est attribué à des objets différents, et il n'existe pas d'isomorphisme entre les deux espaces mentionnés.

J'imagine que la question précédente était de déterminer le noyau de l'application, et que tu t'es probablement trompé.

par **Ben314** » 21 Déc 2009, 19:25

En dimension finie, la notion de quotient par un s.e.v. coïncide complétement avec celle de suplémentaire : ton E/F est trivialement isomorphe à tout suplémentaire de F.
Ton E/F est donc de dim 1 et engendré par la classe de n'importe quel vecteur qui n'est pas dans F.
Quand à l'isomorphisme f(bar), je vois pas ce qu'il y a à déterminer... tu veut la matrice de f(bar) ? (parceque, si c'est l'expression de f(bar) que tu veux, c'est la même que celle de f !!!)

P.S. Arkhnor a raison, j'ai lu trop vite et fait comme si f:E->G (par exemple)

par **Arkhnor** » 21 Déc 2009, 19:30

La dimension finie n'a pas d'incidence, le quotient de E par F esttoujours isomorphe à tout supplémentaire de F. (théorème d'isomorphisme appliqué à la projection adaptée)
La seul changement réside dans l'existence du supplémentaire. (si c'est ce dont tu voulais parler)

par **Ben314** » 21 Déc 2009, 19:34

Quand je disait "coïncide" c'est effectivement pour dire que la notion de quotient n'apportent rien de plus (ou de moins) que celle de suplémentaire vu qu'on a systèmatiquement des suplémentaires.

par **barbu23** » 21 Déc 2009, 19:38

Oui, mais concrètement je ne comprends pas bien la structure de

, c'est pourquoi je voudrais passer par la methode traditionnelle qui consiste à trouver une base à

au moyen de la projection :

, mais sans parler maintenant de sous espaces suppplementaires ... etc ! j'imagine que

est une application linéaire !
Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 21 Déc 2009, 20:49

svp un coup de main ! :happy3:

par **Ben314** » 21 Déc 2009, 21:17

Il me semble que je t'ai déja répondu :
"Ton E/F est donc de dim 1 et engendré par la classe de n'importe quel vecteur qui n'est pas dans F"
Si tu veut employer des "arguments traditionnels" alors, par définition, p est surjective et de noyau F ce qui prouve que E/F est de dim 1 et que tout vecteur non nul de E/F (i.e. la classe de tout vecteur qui n'est pas dans F) forme une base de E/F.

par **miikou** » 22 Déc 2009, 10:31

salut,

tu peux resoudre simplement par calcul matriciel ..

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