Espace vectoriel 2

[Vlad-Drac]

Plop

soit F = {(x,y,z) apartient a R3 / x-y+3z=0}

montrez que {V1=(0,-3,-1) , V2=(1,4,1)} est generatrice de F..

donc a priori il faut que j'exprime tous vecteur de F en combinaison de V1+V2
le probleme c'est que j'arriv a trouver une famille generatrice en fesant :

x=y-3z
donc soit v un vecteur de F, il est de la forme
(y-3z, y , z)=
y(1,1,0) + z(-3,0,1) et j'ai une famille génératrice mais pas celle qui m'interesse :(

comment faire ?

[fatal_error]

salut,

comme tu las ecris, tu as pour tout v de F :

Tu n'as qu'a résoudre le systeme pour trouver alpha et beta :


ce qui te fait un systeme de trois equations a deux inconnus ( \alpha et \beta ) mais qui doit marcher si v est bien CL de V1 et V2, genre deux eq suffisent, la troisieme verifie

[xyz1975]

Plop

soit F = {(x,y,z) apartient a R3 / x-y+3z=0}

montrez que {V1=(0,-3,-1) , V2=(1,4,1)} est generatrice de F..

donc a priori il faut que j'exprime tous vecteur de F en combinaison de V1+V2
le probleme c'est que j'arriv a trouver une famille generatrice en fesant :

x=y-3z
donc soit v un vecteur de F, il est de la forme
(y-3z, y , z)=
y(1,1,0) + z(-3,0,1) et j'ai une famille génératrice mais pas celle qui m'interesse

comment faire ?

Cela veut dire que les vecteurs trouvés sont des combinaisons des vecteurs que tu as demandés :

(1,1,0)=V1+V2
(-3,0,1)=-4V1-3V2

Si tu ne vois pas tu peux par exemple chercher alpha et beta tels que
(y-3z, y , z)=alpha V1+ beta V2 comme il l'a dit fatal_error.

[muse]

Tu peux aussi dire que:
on est dans R^3, qu'on a qu'une seul equation et que donc l'espace est un plan. Or un plan est generé par 2 vecteurs non colineaire.

Suffit de montrer que les deux vecteur ne sont pas colineaire et que les deux vecrteurs vérifient l'equation.

Bon ok c'est pas la méthode general n'est pas celle ci car si on demande de trouver les vecteurs generateurs on ne peut pas faire comme ça.

[Vlad-Drac]

heu désolé mais je ne voit pas du tout ou vous voulez en venir...
j'ai appliqué quand meme. j'ai bien un system daccor, j'obtien
alpha=y-4z
beta=y-3z
daccord jusque là mais bon je vois pas c'que je peut bricoler avec ca... :(

[fatal_error]

ben c'est suffisant non?

tu prends un vecteur qq :
v(y-3z,y,z)
prenons y=1,z=2 soit
v(-5,1,2)
Tu vérifies quil est combinaison linéaire de V1 et V2 avec
alpha = y-4z = -7
beta = y-3z = -5

[Vlad-Drac]

j'ai verifié c'est parfaitement juste mais j'ai l'impression de n'avoir rien démontré.
j'ai peut etre pas tous saisi dans la démarche :hum:

edit: ha si si j'ai capté la démarche c'est assez tendu en fait en reflechissant j'ai toujour soit trouvé une famille generatrice (quelconque) soit demontré une base dans un espace vect dont la dimension etait connu et donc il suffisait de montrer que la famille de vect etait libre.

[fatal_error]

le but, c'était de montrer que tout vecteur de F etait combinaison linéaire de V1 et V2.
on prend donc un vecteur quelconque v(x,y,z). Pour qu'il appartienne a F, on a imposé les conditions qu'ils fallaient (ici sur x = y-3z)

pour ce vecteur quelconque, on veut montrer qu'il est CL de V1 et V2. Si c'est le cas, alors tout vecteur de F est CL de V1 et V2.

Pour ce vecteur v, on a trouvé alpha et beta en fonction des cordo de V. Il faut voir x,z,et z comme des constantes.
On a alors que pour tout vecteur v, on peut avoir les alpha et beta correspondants.

[Vlad-Drac]

merci pour les precisions fatal :)