Espace vectoriel

par **Anonyme** » 06 Oct 2005, 15:31

Je suis sur les espaces vectorielles et j'ai un léger souci. J'ai F sev de R^(5) engendré par les vecteurs a,b,c .(avec des coordonnées)

Lorsque je regarde la liberté : a,b est une famille libre mais pas a,b,c.
Je cherche une base de F : puis je dire que a,b convient ? ( car une "sous famille" d'une famille génératrice n'est pas génératrice si?)

Après j'ai G sev de R^(5) engendré par les vecteurs d,e,f .(avec des coordonnées) dont je dois déterminer une base.

Mais on me demande également une base de F+G et de FinterG...comment faire svp ?

Merci !

par **Anonyme** » 07 Oct 2005, 09:32

Personne à des indications à me donner ?

par **Nightmare** » 07 Oct 2005, 14:08

Bonjour

Non, en général une sous-famille d'une famille génératrice n'est pas génératrice, une sur-famille oui.
Mais par contre si

alors (a,b) est génératrice

:happy:

par **Galt** » 07 Oct 2005, 14:25

Dans la mesure où {a,b} est libre mais pas {a,b,c}, il est clair que {a,b} est génératrice (puisque c peut s'exprimer à l'ade de a et b)
Pour l'intersection et la somme, on est obligé de connaître les vecteurs, il n'y a pas de méthode générale (on doit savoir de quelle dimension est l'intersection)

par **Anonyme** » 08 Oct 2005, 11:26

Merci ! Les vecteurs sont :
a=(1,3,-2,2,3)
b=(2,7,-5,6,7)
c=(1,2,-1,0,4)

d=(1,3,0,2,1)
e=(2,7,-3,6,3)
f=(1,1,6,-2,-1)

(a,b) base de F et (d,e) base de G

Il me faut déterminer une base de F+G et F(inter)G et déterminer les équations de F+G...

Je ne vois pas trop ce que ça représente et pas du tout comment faire...Pouvez vous m'expliquer svp ?

par **Galt** » 08 Oct 2005, 11:58

Avec ces données, je trouve que (a,b,c) est libre. Ne serait-ce pas
c(1,2,-1,0,2) ou b(2,7,-5,6,3) ?
Pour chercher F inter G, on va se donner un élément de F, de la forme xa+yb, donc de coordonnées (x+2y, 3x+7y, -2x-5y,2x+6y, 3x+7y) (si b est juste), et chercher à l'exprimer comme combinaison de d et e, c'est à dire chercher p et q tels que pd+qe=xa+yb, donc
p+2q=x+2y
3p+7q=3x+7y
-3q=2x-5y
2p+6q=2x+6y
p+3q=3x+7y
A vue de nez, ce système n'a pour seule solution que p=q=0. On en déduit que E et F zsont en somme directe, une base de E+F est (a,b,d,e) et une base de l'intersection (réduite à 0) est l'ensemble vide.
Equation de F+G : si tu as vu les déterminants, tu écris que le déterminant de (a,b,d,e,x) est nul (où x représente le vecteur x1,...x5)

par **Anonyme** » 08 Oct 2005, 17:19

erreur : b=(2,7,-5,6,5)

par **Anonyme** » 08 Oct 2005, 18:22

Je trouve (a,b,d) base de F+G...Pour F(inter)G je comprends pas trop !

par **Galt** » 08 Oct 2005, 18:26

Si tu as trouvé a, b, d base de F+G, c'est que F inter G est de dimension 1, tu peux rechercher cette intersection en écrivant le système que je t'ai donné (avec les bonnes valeurs pour b). Le vecteur que tu trouveras sera un vecteur de base (puisque cette intersection est de dimension 1)

par **Anonyme** » 08 Oct 2005, 18:41

Ok pour la dimension mais pour le système????
Les coordonnées de mon vecteur vont etre (p,q,x,y) ??
Désolé je vois pas...

par **Galt** » 08 Oct 2005, 18:56

Tu cherches un vecteur de F (de la forme xa+yb) qui soit aussi dans g (de la forme (zd + te)
Ca va s'écrire x+2y=z+2t pour la première coordonnée, etc pour les autres.
Il y a5 équations pour 4 inconnues, tu devrais trouver au moins une solution non nulle. C'est ton élément de l'intersection.

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