Espace vectoriel

[copinedeneo]

bonsoir j'ai un partiel demain et il y a 2 types d'exercices que je n'arrive pas à résoudre si vous pouviez m'aider. merci :

Soit f l'application linéaire de R^3 dans R² définie par :
f((0,1,1))=(0,-1) f((1,0,1))=(3,2) f((1,1,0))=(1,-1)

déterminer l'image par f de (x,y,z)

quelle méthode faut-il utiliser ?


et puis
Soit F ={(x,y,z) appartient à R^3, x+y+z = 0} et G =Vect [2,-1,-1]

construire un endomorphisme f de R^3 tel que ker f=F et imf=G

je n'arrive pas à bien maîtriser le théorème de la base incomplète sur ce genre d'exo si vous pouviez me donner les méthodes à utiliser. merci d'avance

[fahr451]

on essaye d écrire (x,y,z) comme cbl des trois vecteurs de R^3 donnés

écrire le système le résoudre

par linéarité f(x,y,z) sera cbl des trois images.

pour le 2

détermine une base de F (e1,e2) complète la en une base de R^3

(e1,e2,e3)

et prends f défini par f(e1) = 0, f(e2)= 0 et f(e3) = (2,-1,-1)

[copinedeneo]

en gros je pose quoi comme système pour le 1?

[fahr451]

dans le détail :

(x,y,z) = a(0,1,1) +b(1,0,1)+c(1,1,0) à résoudre en a,b,c en fonction de x,y,z

[copinedeneo]

j'ai :
a=z/2 -x/2 + y/2
b=z/2 + x/2 -y/2
c=(3/2)x - y/2 + z/2

je passe par l'image maintenant ?

[fahr451]

ben oui faut se lancer.

[copinedeneo]

j'ai f(x,y,z) = (z-y+2x ; z+x ; z)

[fahr451]

vérifie ta formule pour les trois vecteurs qu'on t 'a donnés.