Espace vectoriel

par **copinedeneo** » 11 Déc 2006, 18:53

j'ai une démonstration à faire et je ne sais pas vraiment comment m'y prendre.

Soit E et F deux espaces vectoriels sur K de dimension finie.
Soit (e1,....,en) une base de E et (f1,...,fp) une base de F

Montrer que ((e1,0);(e2,0);...;(en,0);(0,f1);...;(0,fp)) est une base de ExF

si vous pouviez me donner un indice, est ce qu'il faut utiliser les dimensions finies ?Je ne vois pas comment montrer que quelque soit u appartenant à ExF est combinaison linéaire de ce qu'il faut démontrer.

merci d'avance

par **Zebulon** » 11 Déc 2006, 19:04

Bonsoir,
puisque la dimension d'un produit étant la somme des dimensions et que le système contient n+p éléments, il suffit de montrer que c'est un système libre de

, ou bien de montrer que c'est un système générateur de

.

par **abcd22** » 11 Déc 2006, 19:05

Bonsoir,
Un élément u de E×F est de la forme (e,f) avec e dans E et f dans F, et on a u = (e,f) = (e,0) + (0,f)...

par **maturin** » 11 Déc 2006, 19:06

ben u dans ExF ça veut dire u=(x,y) avec x dans E et y dans F

or tu peux ecrire x=x1e1+x2e2+....+xnen
et y=y1f1+..+ypfp

donc u=x1(e1,0)+x2(e2,0)+..+xn(en,0)+y1(0,f1)+...+yp(0,fp)

sachant que tu as (x,0)+(0,y)=(x,y)

par **copinedeneo** » 11 Déc 2006, 19:16

merci, et ensuite pour en déduire la dim de ExF en fonction de dim E et dim F je fais la somme c'est ça ?

par **maturin** » 11 Déc 2006, 19:37

oui

enfin avoir explicité une base te dit dim(ExF)=pour l'égalité il faut montrer que ta base est libre.

Espace vectoriel

espace vectoriel

Qui est en ligne