[MPSI MPSI] ESPACE VECTORIEL

[Anonyme]

Bonjour à la communauté des mathématiciens (ciennes) pouver vous
m'aider à resoudre ce probleme je vous en remercie par avance et à
bientot ...

Soit L une extension du corps commutatif K et soit x apprt L, y apprt
L on suppose x algébrique sur K et y algébrique sur K[x]. Montrer que
y est algébrique sur K et que le degré de y sur K est le produit du
degré de y sur K[x] par celui de x sur K

REPONSE PARTIELLE
Je pense que pour répondre à ce probleme il faut utiliser le théoreme
suivant
Soit L une extension du corps K et soit E un L-ev et E_K le K-ev
déduit de E par restriction des scalaires à K Pour que E_K soit de
dimension finie il faut et il suffit que E soit de dimension finie sur
L et que L soit un K-ev de dimension finie Si c'est le cas on a

dim_K (E_K) = dim_L (E) x dim _K (L)
Je vous remercie de votre critique et à bientot ...

[Anonyme]

dominique wrote in message
:
> Soit L une extension du corps commutatif K et soit x apprt L, y apprt
> L on suppose x algébrique sur K et y algébrique sur K[x]. Montrer que
> y est algébrique sur K et que le degré de y sur K est le produit du
> degré de y sur K[x] par celui de x sur K

y est bien algébrique sur K, mais son degré est seulement *majoré* par le
produit des degrés.

Exemple: K=Q, x=sqrt(2), y=sqrt(3).

--
Yann

[Anonyme]

Yann Villessuzanne wrote in message news:...
> dominique wrote in message
> :[color=green]
> > Soit L une extension du corps commutatif K et soit x apprt L, y apprt
> > L on suppose x algébrique sur K et y algébrique sur K[x]. Montrer que
> > y est algébrique sur K et que le degré de y sur K est le produit du
> > degré de y sur K[x] par celui de x sur K
>
> y est bien algébrique sur K, mais son degré est seulement *majoré* par le
> produit des degrés.
>
> Exemple: K=Q, x=sqrt(2), y=sqrt(3).[/color]

Merci beaucoup à Yann Villessuzanne wrote in message news:...
Pour son interessante étude ...

[Anonyme]

dominique wrote in message
> Merci beaucoup à Yann Villessuzanne wrote in message news:...
> Pour son interessante étude ...

Oh... Suis-je bête ? Tu te serais contenté d'une simple réponse à ton
exercice, c'est ça ?

Bon, la voici.

Soit K'=K[x], K''=K'[y].

Comme x est algébrique sur K, K' est un corps, idem pour K''.

D'après le théorème que tu cites, on a dim_K(K'') = dim_{K'}(K'') dim_K(K').

Ensuite, comme y est dans K'', y est de degré au plus dim_K(K'') sur K.

--
Yann